微分積分例

e^{y} = x y

$e^{y} = x y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x y)

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ および

g (x) = y

$g (x) = y$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、

u

$u$ を

y

$y$ とします。

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

a

$a$ =

e

$e$ のとき、

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

e^{u} \frac{d}{d x} [y]

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

u

$u$ のすべての発生を

y

$y$ で置き換えます。

e^{y} \frac{d}{d x} [y]

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

e^{y} \frac{d}{d x} [y]

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ を

y'

$y'$ に書き換えます。

e^{y} y'

$e^{y} y'$

e^{y} y'

$e^{y} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

f (x) = x

$f (x) = x$ および

g (x) = y

$g (x) = y$ のとき、

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ を

y'

$y'$ に書き換えます。

x y' + y \frac{d}{d x} [x]

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

n = 1

$n = 1$ のとき、

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

x y' + y \cdot 1

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 3.4

y

$y$ に

1

$1$ をかけます。

x y' + y

$x y' + y$

x y' + y

$x y' + y$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

e^{y} y' = x y' + y

$e^{y} y' = x y' + y$

ステップ 5

y'

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

e^{y} y'

$e^{y} y'$ の因数を並べ替えます。

y' e^{y} = x y' + y

$y' e^{y} = x y' + y$

ステップ 5.2

方程式の両辺から

x y'

$x y'$ を引きます。

y' e^{y} - x y' = y

$y' e^{y} - x y' = y$

ステップ 5.3

y'

$y'$ を

y' e^{y} - x y'

$y' e^{y} - x y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

y'

$y'$ を

y' e^{y}

$y' e^{y}$ で因数分解します。

y' (e^{y}) - x y' = y

$y' (e^{y}) - x y' = y$

ステップ 5.3.2

y'

$y'$ を

- x y'

$- x y'$ で因数分解します。

y' (e^{y}) + y' (- x) = y

$y' (e^{y}) + y' (- x) = y$

ステップ 5.3.3

y'

$y'$ を

y' (e^{y}) + y' (- x)

$y' (e^{y}) + y' (- x)$ で因数分解します。

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$

ステップ 5.4

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$ の各項を

e^{y} - x

$e^{y} - x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$ の各項を

e^{y} - x

$e^{y} - x$ で割ります。

\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

e^{y} - x

$e^{y} - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を

$1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{e^{y} - x}$

ステップ 6

$y'$ を

$\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

微分積分 例

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