微分積分例

$\sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{y}} = 2 x$

ステップ 1

左辺を有理指数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = 2 x$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} = 2 x$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.8

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.9

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.2.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (x) = 1$ および $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$y^{\frac{1}{2}}$ に $0$ をかけます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.12

$\frac{1}{2}$ と $y^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.13

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.15

$0$ から $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.16

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.16.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.16.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.16.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.16.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y^{1}}$

ステップ 3.3.17

簡約します。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y}$

ステップ 3.3.18

$\frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y}$ を積として書き換えます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 3.3.19

$\frac{1}{y}$ に $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{y (2 y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 3.3.20

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 (y^{1} y^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 3.3.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.22

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3.23

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 3.3.24

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} = 2$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 y^{\frac{1}{2}}, 2 y^{\frac{3}{2}}, 1$

ステップ 6.1.2

Since $2 y^{\frac{1}{2}}, 2 y^{\frac{3}{2}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{2}}$ .

ステップ 6.1.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 6.1.4

$2$ には、 $1$ と $2$ 以外に因数がないため。

$2$ は素数です

ステップ 6.1.5

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 6.1.6

$2, 2, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$2$

ステップ 6.1.7

$y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{2}}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$y^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.1.8

$2 y^{\frac{1}{2}}, 2 y^{\frac{3}{2}}, 1$ の最小公倍数は数値部分 $2$ に変数部分を掛けたものです。

$2 y^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.2

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} = 2$ の各項に $2 y^{\frac{3}{2}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} = 2$ の各項に $2 y^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.3

$y^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.3.1

$y^{\frac{1}{2}}$ を $y^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}) - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}) - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.3.3

式を書き換えます。

$y' y^{\frac{2}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.4

$2$ を $2$ で割ります。

$y' y^{1} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.5

簡約します。

$y' y - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.6

$2 y^{\frac{3}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.6.1

$- \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' y + \frac{- y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$y' y + \frac{- y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2.1.6.3

式を書き換えます。

$y' y - y' = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$y' y - y' = 4 y^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$y'$ を $y' y - y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$y'$ を $y' y$ で因数分解します。

$y' (y) - y' = 4 y^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.1.2

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (y) + y' \cdot - 1 = 4 y^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.1.3

$y'$ を $y' (y) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (y - 1) = 4 y^{\frac{3}{2}}$

ステップ 6.3.2

$y' (y - 1) = 4 y^{\frac{3}{2}}$ の各項を $y - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$y' (y - 1) = 4 y^{\frac{3}{2}}$ の各項を $y - 1$ で割ります。

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$

微分積分 例

微分積分例