微分積分例

$- \frac{x}{y} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.2

$y$ に $1$ をかけます。

$- \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$\frac{x}{y}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

ステップ 2.6.2

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$

ステップ 3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

分子を0に等しくします。

$y - x y' = 0$

ステップ 5.2

$y'$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$- x y' = - y$

ステップ 5.2.2

$- x y' = - y$ の各項を $- x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- x y' = - y$ の各項を $- x$ で割ります。

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y}{- x}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y' = \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$

微分積分 例

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