微分積分例

$\frac{2 x + y}{x - 5 y} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x + y}{x - 5 y}) = \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = 2 x + y$ および $g (x) = x - 5 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 5 y) \frac{d}{d x} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $2 x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{(x - 5 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x - 5 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 5 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 5 y) (2 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.4

総和則では、 $x - 5 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ です。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.6

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 y$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 \frac{d}{d x} [y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.7

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 5 y) (2 + y')$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 + y') - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1.2.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.2.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- 2 x - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x - y) (1 - 5 y')$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x (1 - 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1.5.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.5.2

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.1.5.4

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.2

$2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.8.2.2.1

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 0 + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.2.2

$x y' - 10 y - 5 y y'$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.2.3

$- 5 y y'$ と $5 y y'$ をたし算します。

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y + 0}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.2.4

$x y' - 10 y + 10 x y' - y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.3

$x y'$ と $10 x y'$ をたし算します。

$\frac{11 x y' - 10 y - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.2.4

$- 10 y$ から $y$ を引きます。

$\frac{11 x y' - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.3

$11$ を $11 x y' - 11 y$ で因数分解します。

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ステップ 2.8.3.1

$11$ を $11 x y'$ で因数分解します。

$\frac{11 (x y') - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.3.2

$11$ を $- 11 y$ で因数分解します。

$\frac{11 (x y') + 11 (- y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 2.8.3.3

$11$ を $11 (x y') + 11 (- y)$ で因数分解します。

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

ステップ 3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

分子を0に等しくします。

$11 (x y' - y) = 0$

ステップ 5.2

$y'$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.2.1

$11 (x y' - y) = 0$ の各項を $11$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$11 (x y' - y) = 0$ の各項を $11$ で割ります。

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

ステップ 5.2.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$11$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

ステップ 5.2.1.2.1.2

$x y' - y$ を $1$ で割ります。

$x y' - y = \frac{0}{11}$

ステップ 5.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.3.1

$0$ を $11$ で割ります。

$x y' - y = 0$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺に $y$ を足します。

$x y' = y$

ステップ 5.2.3

$x y' = y$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$x y' = y$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

ステップ 5.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

ステップ 5.2.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$

微分積分 例

微分積分例