微分積分例

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = \frac{25}{4} \cdot (x y^{2})$

ステップ 1

括弧を削除します。

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = \frac{25}{4} \cdot (x y^{2})$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{25}{4} \cdot (x y^{2}))$

ステップ 3

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 3.5.2

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x$ と $\frac{25}{4}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 25}{4} \cdot y^{2}]$

ステップ 4.1.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{x \cdot 25}{4}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 25 y^{2}}{4}]$

ステップ 4.1.2.2

$25$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [\frac{25 \cdot x y^{2}}{4}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{25}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{25 x y^{2}}{4}$ の微分係数は $\frac{25}{4} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ です。

$\frac{25}{4} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{25}{4} (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{25}{4} (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{25}{4} (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{25}{4} (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{25}{4} (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

ステップ 4.7

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2})$

ステップ 4.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{25}{4} (2 x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 4.8.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.1

$2$ と $\frac{25}{4}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 25}{4} (x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 4.8.2.2

$2$ に $25$ をかけます。

$\frac{50}{4} (x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 4.8.2.3

$x$ と $\frac{50}{4}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 50}{4} (y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 4.8.2.4

$y$ と $\frac{x \cdot 50}{4}$ をまとめます。

$\frac{y (x \cdot 50)}{4} y' + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 4.8.2.5

$\frac{y (x \cdot 50)}{4}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{y (x \cdot 50) y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 4.8.2.6

$50$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{y (50 \cdot x) y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 4.8.2.7

$50$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{50 \cdot y x y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 4.8.2.8

$50$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.8.1

$2$ を $50 y x y'$ で因数分解します。

$\frac{2 (25 y x y')}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 4.8.2.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.8.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (25 y x y')}{2 (2)} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 4.8.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (25 y x y')}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 4.8.2.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.2

0を加えて簡約します。

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

分配則を当てはめます。

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.3.2

分配則を当てはめます。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.3.3

分配則を当てはめます。

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.6

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.7

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.7.1

$y^{2}$ を移動させます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.7.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.7.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.7.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.1.4.8

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

ステップ 6.2

$\frac{25}{4}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25 y^{2}}{4}$

ステップ 6.3

方程式の両辺から $\frac{25 y x y'}{2}$ を引きます。

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4}$

ステップ 6.4

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

方程式の両辺から $4 x^{3}$ を引きます。

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3}$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺から $4 x y^{2}$ を引きます。

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 6.5

$y y'$ を $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$y y'$ を $4 y y' x^{2}$ で因数分解します。

$y y' (4 x^{2}) + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 6.5.2

$y y'$ を $4 y^{3} y'$ で因数分解します。

$y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2}) - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 6.5.3

$y y'$ を $- \frac{25 y x y'}{2}$ で因数分解します。

$y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 6.5.4

$y y'$ を $y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2})$ で因数分解します。

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 6.5.5

$y y'$ を $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2})$ で因数分解します。

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

ステップ 6.6

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ の各項を $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ の各項を $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})$ で割ります。

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 6.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}{4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}} = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.2.2

$4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 6.6.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.2

$- 4 x y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 y^{2} x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.3

$\frac{25 y^{2}}{4}$ から $4 y^{2} x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.3.1

$\frac{25 y^{2}}{4}$ と $- 4 x y^{2}$ を並べ替えます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} - 4 x y^{2} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.3.2

$- 4 x y^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} - 4 x y^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.3.3

$- 4 x y^{2}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{- 4 x y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{- 4 x y^{2} \cdot 4 + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.4.1

$y^{2}$ を $- 4 x y^{2} \cdot 4 + 25 y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.4.1.1

$y^{2}$ を $- 4 x y^{2} \cdot 4$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.4.1.2

$y^{2}$ を $25 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4) + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.4.1.3

$y^{2}$ を $y^{2} (- 4 x \cdot 4) + y^{2} \cdot 25$ で因数分解します。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4 + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.4.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.5

$- 4 x^{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.6.1

$- 4 x^{3}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y' = \frac{\frac{- 4 x^{3} \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.6.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{\frac{- 4 x^{3} \cdot 4 + y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.7.1

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} + y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.7.2

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} + y^{2} (- 16 x) + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.7.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} - 16 y^{2} x + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.7.4

$25$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} - 16 y^{2} x + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.8

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.8.1

$- 1$ を $- 16 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3}) - 16 y^{2} x + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.8.2

$- 1$ を $- 16 y^{2} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3}) - (16 y^{2} x) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.8.3

$- 1$ を $- (16 x^{3}) - (16 y^{2} x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.8.4

$- 1$ を $25 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) - (- 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.8.5

$- 1$ を $- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) - (- 25 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.8.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.8.6.1

$- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})$ を $- 1 (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})$ に書き換えます。

$y' = \frac{\frac{- 1 (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.8.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{- \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.9

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.10

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.10.1

$4 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + 4 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.10.2

$4 x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{4 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.10.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{4 x^{2} \cdot 2 - 25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.10.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.10.4.1

$x$ を $4 x^{2} \cdot 2 - 25 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.10.4.1.1

$x$ を $4 x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2) - 25 x}{2})}$

ステップ 6.6.3.10.4.1.2

$x$ を $- 25 x$ で因数分解します。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2) + x \cdot - 25}{2})}$

ステップ 6.6.3.10.4.1.3

$x$ を $x (4 x \cdot 2) + x \cdot - 25$ で因数分解します。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2 - 25)}{2})}$

ステップ 6.6.3.10.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

ステップ 6.6.3.10.5

$4 y^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

ステップ 6.6.3.10.6

$4 y^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (\frac{4 y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

ステップ 6.6.3.10.7

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{4 y^{2} \cdot 2 + x (8 x - 25)}{2}}$

ステップ 6.6.3.10.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.10.8.1

$2$ に $4$ をかけます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + x (8 x - 25)}{2}}$

ステップ 6.6.3.10.8.2

分配則を当てはめます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + x (8 x) + x \cdot - 25}{2}}$

ステップ 6.6.3.10.8.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x \cdot x + x \cdot - 25}{2}}$

ステップ 6.6.3.10.8.4

$- 25$ を $x$ の左に移動させます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x \cdot x - 25 \cdot x}{2}}$

ステップ 6.6.3.10.8.5

各項を簡約します。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x}{2}}$

ステップ 6.6.3.11

$y$ と $\frac{8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x}{2}$ をまとめます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{\frac{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}{2}}$

ステップ 6.6.3.12

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} (1 \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)})$

ステップ 6.6.3.13

$\frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$ に $1$ をかけます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

ステップ 6.6.3.14

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.14.1

$- \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

ステップ 6.6.3.14.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 (2)} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

ステップ 6.6.3.14.3

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

ステップ 6.6.3.14.4

式を書き換えます。

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2} \cdot \frac{1}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

ステップ 6.6.3.15

$\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2}$ に $\frac{1}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$ をかけます。

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 (y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x))}$

ステップ 6.6.3.16

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{2 y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

ステップ 7

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{2 y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

微分積分 例

微分積分例