微分積分例

$y = {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{3})$

ステップ 2

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = \frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

ステップ 3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ で置き換えます。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

ステップ 3.2

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = t^{3} - 4 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{(t^{3} - 4 t) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{(t^{3} - 4 t) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$2$ を $t^{3} - 4 t$ の左に移動させます。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 \cdot (t^{3} - 4 t) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $t^{3} - 4 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ です。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$- 4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 4 t$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4 \frac{d}{d t} [t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4 \cdot 1)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.3.7.2

$\frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{(2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)) \cdot 3}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2}$

ステップ 3.3.7.3

$3$ を $2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

積の法則を $\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ に当てはめます。

$\frac{3 (2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 ((2 t^{3} + 2 (- 4 t)) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 t^{3} t + 2 (- 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 t^{3} t + 2 (- 4 t) t - t^{2} (3 t^{2}) - t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.5

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (2 t^{3} t) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (2 (t^{1} t^{3})) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 (2 t^{1 + 3}) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 (2 t^{4}) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 t^{4} + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.5

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t \cdot t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.6

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 (t^{1} t)) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.7

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 (t^{1} t^{1})) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t^{1 + 1}) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t^{2}) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.10

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.11

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{2} t^{2}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.12

指数を足して $t^{2}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.12.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 (t^{2} t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{2 + 2}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.12.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{4}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.13

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.14

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 3 (4 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.15

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.16

$6 t^{4}$ から $9 t^{4}$ を引きます。

$\frac{- 3 t^{4} - 24 t^{2} + 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.17

$- 24 t^{2}$ と $12 t^{2}$ をたし算します。

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.18

${(t^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.18.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{t^{2 \cdot 2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.18.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.19

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ に $\frac{t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2} {(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.20

指数を足して ${(t^{3} - 4 t)}^{2}$ に ${(t^{3} - 4 t)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.20.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2 + 2}}$

ステップ 3.4.6.20.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

ステップ 3.4.7

項を並べ替えます。

$\frac{t^{4} (- 3 t^{4} - 12 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

ステップ 3.4.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1

$3 t^{2}$ を $- 3 t^{4} - 12 t^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.1.1

$3 t^{2}$ を $- 3 t^{4}$ で因数分解します。

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2}) - 12 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

ステップ 3.4.8.1.2

$3 t^{2}$ を $- 12 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2}) + 3 t^{2} (- 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

ステップ 3.4.8.1.3

$3 t^{2}$ を $3 t^{2} (- t^{2}) + 3 t^{2} (- 4)$ で因数分解します。

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

$\frac{t^{4} \cdot 3 t^{2} (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

ステップ 3.4.8.2

指数を足して $t^{4}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.8.2.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{t^{2} t^{4} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

ステップ 3.4.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{t^{2 + 4} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

ステップ 3.4.8.2.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

ステップ 3.4.9

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.1

$t$ を $t^{3} - 4 t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.1.1

$t$ を $t^{3}$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t^{2} - 4 t)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.1.2

$t$ を $- 4 t$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t^{2} + t \cdot - 4)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.1.3

$t$ を $t \cdot t^{2} + t \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t^{2} - 4))}^{4}}$

ステップ 3.4.9.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

ステップ 3.4.9.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = t$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t + 2) (t - 2))}^{4}}$

ステップ 3.4.9.4

積の法則を $t (t + 2) (t - 2)$ に当てはめます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t + 2))}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.5

分配則を当てはめます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t + t \cdot 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.6

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{2} + t \cdot 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.7

$2$ を $t$ の左に移動させます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{2} + 2 \cdot t)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.8

二項定理を利用します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.9.1

${(t^{2})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.9.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 4 \cdot 2 {(t^{2})}^{3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 {(t^{2})}^{3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.4

${(t^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.9.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{2 \cdot 3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{6} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.5

指数を足して $t^{6}$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.9.5.1

$t$ を移動させます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 (t \cdot t^{6}) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.5.2

$t$ に $t^{6}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.9.5.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 (t^{1} t^{6}) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{1 + 6} + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.5.3

$1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.6

${(t^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.9.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{2 \cdot 2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{4} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.7

積の法則を $2 t$ に当てはめます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{4} (2^{2} t^{2}) + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{4} t^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.9

指数を足して $t^{4}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.9.9.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} (t^{2} t^{4}) + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{2 + 4} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.9.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.10

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 4 t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.11

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.12

積の法則を $2 t$ に当てはめます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 t^{2} (2^{3} t^{3}) + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.13

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{2} t^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.14

指数を足して $t^{2}$ に $t^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.9.14.1

$t^{3}$ を移動させます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} (t^{3} t^{2}) + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.14.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{3 + 2} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.14.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.15

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 8 t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.16

$4$ に $8$ をかけます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.17

積の法則を $2 t$ に当てはめます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 2^{4} t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.9.18

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.10

$t^{4}$ を $t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.10.1

$t^{4}$ を $t^{8}$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.10.2

$t^{4}$ を $8 t^{7}$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.10.3

$t^{4}$ を $24 t^{6}$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.10.4

$t^{4}$ を $32 t^{5}$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.10.5

$t^{4}$ を $16 t^{4}$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.10.6

$t^{4}$ を $t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3})$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.10.7

$t^{4}$ を $t^{4} (t^{4} + 8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2})$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.10.8

$t^{4}$ を $t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2}) + t^{4} (32 t)$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.10.9

$t^{4}$ を $t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t) + t^{4} \cdot 16$ で因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t + 16) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.11

各項を2項式の定理の公式の項と一致させます。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} (t^{4} + 4 \cdot 2 t^{3} + 6 \cdot 2^{2} t^{2} + 4 \cdot 2^{3} t + 2^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.9.12

2項式の定理を利用して $t^{4} + 4 \cdot 2 t^{3} + 6 \cdot 2^{2} t^{2} + 4 \cdot 2^{3} t + 2^{4}$ を因数分解します。

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.10

$t^{6}$ と $t^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.10.1

$t^{4}$ を $t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)$ で因数分解します。

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.10.2.1

$t^{4}$ を $t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} ({(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4})}$

ステップ 3.4.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} ({(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4})}$

ステップ 3.4.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.11

$3$ を $t^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot t^{2} (- t^{2} - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.12

$- 1$ を $- t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2}) - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.13

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2}) - 1 (4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.14

$- 1$ を $- (t^{2}) - 1 (4)$ で因数分解します。

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2} + 4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.15

$- (t^{2} + 4)$ を $- 1 (t^{2} + 4)$ に書き換えます。

$\frac{3 t^{2} (- 1 (t^{2} + 4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.16

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(3 t^{2}) (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 3.4.17

$- \frac{(3 t^{2}) (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例