微分積分例

$y = \frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)})$

ステップ 2

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$7$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$ です。

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$

ステップ 3.2

$f (t) = \tan (t)$ および $g (t) = 5 + 5 \sec (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \frac{d}{d t} [\tan (t)] - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.3

$t$ に関する $\tan (t)$ の微分係数は $\sec^{2} (t)$ です。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

総和則では、 $5 + 5 \sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ です。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (0 + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.4.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ をたし算します。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.4.4

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 \sec (t)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ です。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (5 \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.4.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.5

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.6

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.7

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.10

$7$ と $\frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{7 ((5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t) + 5 \sec (t) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.3.1

$7 \sec (t)$ を $7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.3.1.1

$7 \sec (t)$ を $7 (5 \sec^{2} (t))$ で因数分解します。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.2

$7 \sec (t)$ を $7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t))$ で因数分解します。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.3

$7 \sec (t)$ を $7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ で因数分解します。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.4

$7 \sec (t)$ を $7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t))$ で因数分解します。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.1.5

$7 \sec (t)$ を $7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))$ で因数分解します。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.2

$5$ を $5 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.3

$5$ を $- 5 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.4

$5$ を $5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t))$ で因数分解します。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \cdot 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.6

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.7

分配則を当てはめます。

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.8

$7 \sec (t) (5 \sec (t))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.3.8.1

$5$ に $7$ をかけます。

$\frac{35 \sec (t) \sec (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.8.2

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.8.3

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{35 {\sec (t)}^{1 + 1} + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.3.9

$5$ に $7$ をかけます。

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.4

$35 \sec (t)$ を $35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.4.1

$35 \sec (t)$ を $35 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.4.2

$35 \sec (t)$ を $35 \sec (t)$ で因数分解します。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.4.3

$35 \sec (t)$ を $35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)$ で因数分解します。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.5.1

$5$ を $5 + 5 \sec (t)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.5.1.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 \cdot 1 + 5 \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.5.1.2

$5$ を $5 \cdot 1 + 5 \sec (t)$ で因数分解します。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 (1 + \sec (t)))}^{2}}$

ステップ 3.11.5.2

積の法則を $5 (1 + \sec (t))$ に当てはめます。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5^{2} {(1 + \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.5.3

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.6

$35$ と $25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.6.1

$5$ を $35 \sec (t) (\sec (t) + 1)$ で因数分解します。

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.6.2.1

$5$ を $25 {(1 + \sec (t))}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

ステップ 3.11.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

ステップ 3.11.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{7 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.7

$\sec (t) + 1$ と ${(1 + \sec (t))}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.7.1

項を並べ替えます。

$\frac{7 \sec (t) (1 + \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.7.2

$1 + \sec (t)$ を $7 \sec (t) (1 + \sec (t))$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

ステップ 3.11.7.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.7.3.1

$1 + \sec (t)$ を $5 {(1 + \sec (t))}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

ステップ 3.11.7.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

ステップ 3.11.7.3.3

式を書き換えます。

$\frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

微分積分 例

微分積分例