微分積分例

$y = {(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$

ステップ 1

${(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = e^{\cos (\frac{t}{7}) \cdot 4}$

ステップ 1.2

$4$ を $\cos (\frac{t}{7})$ の左に移動させます。

$y = e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{4 \cos (\frac{t}{7})})$

ステップ 3

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 4 \cos (\frac{t}{7})$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 \cos (\frac{t}{7})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

ステップ 4.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 \cos (\frac{t}{7})$ で置き換えます。

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

ステップ 4.2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 \cos (\frac{t}{7})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$ です。

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})])$

ステップ 4.2.2

$4$ を $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ の左に移動させます。

$4 \cdot e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$

ステップ 4.3

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = \frac{t}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{t}{7}$ とします。

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

ステップ 4.3.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

ステップ 4.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{t}{7}$ で置き換えます。

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

ステップ 4.4

微分します。

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ステップ 4.4.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

ステップ 4.4.2

$\frac{1}{7}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{t}{7}$ の微分係数は $\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) (\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.4.3

分数をまとめます。

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ステップ 4.4.3.1

$\frac{1}{7}$ と $- 4$ をまとめます。

$\frac{- 4}{7} e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.3.2

$\frac{- 4}{7}$ と $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ をまとめます。

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.3.3

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7}$ と $\sin (\frac{t}{7})$ をまとめます。

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \cdot 1$

ステップ 4.4.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

微分積分 例

微分積分例