微分積分例

$y = \cot^{2} (\cos^{4} (t))$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cot^{2} (\cos^{4} (t)))$

ステップ 2

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = \cot (\cos^{4} (t))$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cot (\cos^{4} (t))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

ステップ 3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cot (\cos^{4} (t))$ で置き換えます。

$2 \cot (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

ステップ 3.2

$f (t) = \cot (t)$ および $g (t) = \cos^{4} (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos^{4} (t)$ とします。

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

ステップ 3.2.2

$u_{2}$ に関する $\cot (u_{2})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{2})$ です。

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos^{4} (t)$ で置き換えます。

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

ステップ 3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) (\csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

ステップ 3.4

$f (t) = t^{4}$ および $g (t) = \cos (t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $\cos (t)$ とします。

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

ステップ 3.4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

ステップ 3.4.3

$u_{3}$ のすべての発生を $\cos (t)$ で置き換えます。

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 \cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

ステップ 3.5

$4$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

ステップ 3.6

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) (- \sin (t))$

ステップ 3.7

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$

ステップ 3.8

簡約します。

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ステップ 3.8.1

$8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$ の因数を並べ替えます。

$8 \cos^{3} (t) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

ステップ 3.8.2

正弦と余弦に関して $\csc (\cos^{4} (t))$ を書き換えます。

$8 \cos^{3} (t) {(\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))})}^{2} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

ステップ 3.8.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))}$ に当てはめます。

$8 \cos^{3} (t) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

ステップ 3.8.4

1のすべての数の累乗は1です。

$8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

ステップ 3.8.5

$8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ を掛けます。

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ステップ 3.8.5.1

$\frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cos^{3} (t) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

ステップ 3.8.5.2

$\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ と $\cos^{3} (t)$ をまとめます。

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

ステップ 3.8.6

正弦と余弦に関して $\cot (\cos^{4} (t))$ を書き換えます。

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cdot \frac{\cos (\cos^{4} (t))}{\sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

ステップ 3.8.7

まとめる。

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

ステップ 3.8.8

指数を足して $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ に $\sin (\cos^{4} (t))$ を掛けます。

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ステップ 3.8.8.1

$\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ に $\sin (\cos^{4} (t))$ をかけます。

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ステップ 3.8.8.1.1

$\sin (\cos^{4} (t))$ を $1$ 乗します。

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin^{1} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

ステップ 3.8.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{{\sin (\cos^{4} (t))}^{2 + 1}} \sin (t)$

ステップ 3.8.8.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

ステップ 3.8.9

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ と $\sin (t)$ をまとめます。

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

ステップ 3.8.10

$1$ を掛けます。

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

ステップ 3.8.11

$1$ を掛けます。

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t)) \cdot 1}$

ステップ 3.8.12

分数を分解します。

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} \cdot \frac{\cos^{3} (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

ステップ 3.8.13

$\frac{1}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ を $\csc^{3} (\cos^{4} (t))$ に変換します。

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

ステップ 3.8.14

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

ステップ 3.8.15

$8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)$ を $1$ で割ります。

$8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

微分積分 例

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