微分積分例

$y = arccsc (e^{4 t})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccsc (e^{4 t}))$

ステップ 2

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (t) = arccsc (t)$ および $g (t) = e^{4 t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{4 t}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [arccsc (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{4 t}]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $arccsc (u_{1})$ の微分係数は $- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ です。

$- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{4 t}]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{4 t}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{{(e^{4 t})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{4 t}]$

ステップ 3.2

${(e^{4 t})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{4 t \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{4 t}]$

ステップ 3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{4 t}]$

ステップ 3.3

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 4 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 t$ とします。

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [4 t])$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [4 t])$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 t$ で置き換えます。

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

$e^{4 t}$ と $\frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}}$ をまとめます。

$- \frac{e^{4 t}}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [4 t]$

ステップ 3.4.2

$e^{4 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{e^{4 t}}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [4 t]$

ステップ 3.4.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [4 t]$

ステップ 3.4.3

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} (4 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.4.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.4.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 \frac{1}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.4.4.2

$- 4$ と $\frac{1}{\sqrt{e^{8 t} - 1}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.4.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} \cdot 1$

ステップ 3.4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}}$

微分積分 例

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