微分積分例

$y = 5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t))$

ステップ 2

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$ です。

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$

ステップ 3.1.2

$5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{π}{6}$ と $t$ をまとめます。

$0 + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π t}{6})]$

ステップ 3.2.2

$4.9$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4.9 \cos (\frac{π t}{6})$ の微分係数は $4.9 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$ です。

$0 + 4.9 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$

ステップ 3.2.3

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = \frac{π t}{6}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π t}{6}$ とします。

$0 + 4.9 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

ステップ 3.2.3.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$0 + 4.9 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

ステップ 3.2.3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{π t}{6}$ で置き換えます。

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

ステップ 3.2.4

$\frac{π}{6}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{π t}{6}$ の微分係数は $\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 3.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \cdot 1))$

ステップ 3.2.6

$\frac{π}{6}$ に $1$ をかけます。

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{π}{6})$

ステップ 3.2.7

$\frac{π}{6}$ と $\sin (\frac{π t}{6})$ をまとめます。

$0 + 4.9 (- \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6})$

ステップ 3.2.8

$- 1$ に $4.9$ をかけます。

$0 - 4.9 \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

ステップ 3.2.9

$- 4.9$ と $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ をまとめます。

$0 + \frac{- 4.9 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{6}$

ステップ 3.2.10

$π$ に $- 4.9$ をかけます。

$0 + \frac{- 15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

ステップ 3.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$0 - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

ステップ 3.3

$0$ から $\frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ を引きます。

$- \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

微分積分 例

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