微分積分例

$y = t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π})$

ステップ 2

$t$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $t \sin (π t) + \frac{1}{π} \cdot \cos (π t) - \frac{1}{π}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t \sin (π t)] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$ です。

$\frac{d}{d t} [t \sin (π t)] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d t} [t \sin (π t)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (t) = t$ および $g (t) = \sin (π t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t \frac{d}{d t} [\sin (π t)] + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.2.2

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = π t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $π t$ とします。

$t (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$t (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $π t$ で置き換えます。

$t (\cos (π t) \frac{d}{d t} [π t]) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.2.3

$π$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $π t$ の微分係数は $π \frac{d}{d t} [t]$ です。

$t (\cos (π t) (π \frac{d}{d t} [t])) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (\cos (π t) (π \cdot 1)) + \sin (π t) \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (\cos (π t) (π \cdot 1)) + \sin (π t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.2.6

$π$ に $1$ をかけます。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.2.7

$\sin (π t)$ に $1$ をかけます。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{π}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{1}{π} \cdot \cos (π t)$ の微分係数は $\frac{1}{π} \frac{d}{d t} [\cos (π t)]$ です。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} \frac{d}{d t} [\cos (π t)] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.3.2

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = π t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $π t$ とします。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $π t$ で置き換えます。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) \frac{d}{d t} [π t]) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.3.3

$π$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $π t$ の微分係数は $π \frac{d}{d t} [t]$ です。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) (π \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) (π \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.3.5

$π$ に $1$ をかけます。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) + \frac{1}{π} (- \sin (π t) π) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.3.6

$\frac{1}{π}$ と $\sin (π t)$ をまとめます。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{\sin (π t)}{π} π + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.3.7

$π$ と $\frac{\sin (π t)}{π}$ をまとめます。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{π \sin (π t)}{π} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.3.8

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.8.1

共通因数を約分します。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \frac{π \sin (π t)}{π} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.3.8.2

$\sin (π t)$ を $1$ で割ります。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \sin (π t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{π}]$

ステップ 3.4

$- \frac{1}{π}$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- \frac{1}{π}$ の微分係数は $0$ です。

$t (\cos (π t) π) + \sin (π t) - \sin (π t) + 0$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

項をまとめます。

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ステップ 3.5.1.1

$\sin (π t)$ から $\sin (π t)$ を引きます。

$t (\cos (π t) π) + 0 + 0$

ステップ 3.5.1.2

$t (\cos (π t) π)$ と $0$ をたし算します。

$t (\cos (π t) π) + 0$

ステップ 3.5.1.3

$t (\cos (π t) π)$ と $0$ をたし算します。

$t (\cos (π t) π)$

ステップ 3.5.2

$t (\cos (π t) π)$ の因数を並べ替えます。

$π t \cos (π t)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = π t \cos (π t)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d t} = π t \cos (π t)$

微分積分 例

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