微分積分例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + x} - x$

ステップ 1

掛け算して分子を有理化します。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x} - x) (\sqrt{x^{2} + x} + x)}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分配法則（FOIL法）を使って分子を展開します。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{x^{2} + x} x + \sqrt{x^{2} + x} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

ステップ 2.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

ステップ 3

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x} + x}$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}} + x}$

ステップ 3.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1} + x}$

ステップ 3.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (x + 1)} + x}$

ステップ 4

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = \sqrt{x^{2}}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 5

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 5.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

ステップ 5.2

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + 1}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

ステップ 7.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

ステップ 7.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7.4

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 8

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9

極限を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 9.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 10

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 11

極限を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 11.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + 1}$

ステップ 11.3

答えを簡約します。

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ステップ 11.3.1

$1 + 0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

ステップ 11.3.2

分母を簡約します。

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ステップ 11.3.2.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

ステップ 11.3.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{1 + 1}$

ステップ 11.3.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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