微分積分例

$y = \frac{3 - \cos (x)}{6 + \cos (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 - \cos (x)}{6 + \cos (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 3 - \cos (x)$ および $g (x) = 6 + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(6 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [3 - \cos (x)] - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $3 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{(6 + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(6 + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ をたし算します。

$\frac{(6 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{(6 + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{(6 + \cos (x)) (- - \sin (x)) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(6 + \cos (x)) (1 \sin (x)) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.4.3

総和則では、 $6 + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.4.4

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.4.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ をたし算します。

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (- \sin (x))}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.6

掛け算します。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) + 1 (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$3 - \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) + (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.7.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.3.1

$6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.7.3.1.1

$\cos (x) \sin (x)$ から $\cos (x) \sin (x)$ を引きます。

$\frac{6 \sin (x) + 0 + 3 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.7.3.1.2

$6 \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6 \sin (x) + 3 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3.7.3.2

$6 \sin (x)$ と $3 \sin (x)$ をたし算します。

$\frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

微分積分 例

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