微分積分例

$y = 3^{x} x^{3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3^{x} x^{3})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 3^{x}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3^{x} (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

ステップ 3.3

指数を足して $3^{x}$ に $3$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$3$ を移動させます。

$3 \cdot 3^{x} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

ステップ 3.3.2

$3$ に $3^{x}$ をかけます。

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ステップ 3.3.2.1

$3$ を $1$ 乗します。

$3^{1} \cdot 3^{x} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

ステップ 3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3^{1 + x} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

ステップ 3.4

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3^{1 + x} x^{2} + x^{3} (3^{x} \ln (3))$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

項を並べ替えます。

$3^{1 + x} x^{2} + 3^{x} x^{3} \ln (3)$

ステップ 3.5.2

$3^{1 + x} x^{2} + 3^{x} x^{3} \ln (3)$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} \cdot 3^{1 + x} + x^{3} \cdot 3^{x} \ln (3)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = x^{2} \cdot 3^{1 + x} + x^{3} \cdot (3^{x} \ln (3))$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \cdot 3^{1 + x} + x^{3} \cdot (3^{x} \ln (3))$

微分積分 例

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