微分積分例

$\int_{- 1}^{1} 3^{2 x - 1} d x$

ステップ 1

$u = 2 x - 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u = 2 x - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot - 1 - 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$u_{lower} = - 2 - 1$

ステップ 1.3.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = - 3$

ステップ 1.4

$u = 2 x - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 2 - 1$

ステップ 1.5.2

$2$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 3}^{1} 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$3^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{- 3}^{1} \frac{3^{u}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} 3^{u} d u$

ステップ 4

$3^{u}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ と $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$ をまとめます。

$\frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}}{2}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$1$ および $- 3$ で $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ の値を求めます。

$\frac{(\frac{3^{1}}{\ln (3)}) - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

指数を求めます。

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

ステップ 6.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)}}{2}$

ステップ 6.2.3

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}}{2}$

ステップ 6.2.4

$\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ を積として書き換えます。

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)})}{2}$

ステップ 6.2.5

$\frac{1}{27}$ に $\frac{1}{\ln (3)}$ をかけます。

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

ステップ 6.2.6

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$ に $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ をかけます。

$\frac{\ln (3)}{\ln (3)} \cdot \frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

ステップ 6.2.7

まとめる。

$\frac{\ln (3) (\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.8

分配則を当てはめます。

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.9

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.9.2

式を書き換えます。

$\frac{3 + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.10

$\ln (3)$ と $\frac{1}{27 \ln (3)}$ をまとめます。

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.11

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.11.2

式を書き換えます。

$\frac{3 - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.12

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$\frac{3 \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.13

$3$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$\frac{\frac{3 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{3 \cdot 27 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.15

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.15.1

$3$ に $27$ をかけます。

$\frac{\frac{81 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.15.2

$81$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{80}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

ステップ 6.2.16

$2$ を $\ln (3)$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \cdot \ln (3)}$

ステップ 6.2.17

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \ln (3)}$ を積として書き換えます。

$\frac{80}{27} \cdot \frac{1}{2 \ln (3)}$

ステップ 6.2.18

$\frac{80}{27}$ に $\frac{1}{2 \ln (3)}$ をかけます。

$\frac{80}{27 (2 \ln (3))}$

ステップ 6.2.19

$2$ に $27$ をかけます。

$\frac{80}{54 \ln (3)}$

ステップ 6.2.20

$80$ と $54$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.20.1

$2$ を $80$ で因数分解します。

$\frac{2 (40)}{54 \ln (3)}$

ステップ 6.2.20.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.20.2.1

$2$ を $54 \ln (3)$ で因数分解します。

$\frac{2 (40)}{2 (27 \ln (3))}$

ステップ 6.2.20.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 40}{2 (27 \ln (3))}$

ステップ 6.2.20.2.3

式を書き換えます。

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

10進法形式：

$1.34850255 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例