微分積分例

$y = \frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = 1 + \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $1 + \csc (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ です。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$\cot (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.6

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.7

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.2.1

$\csc (x)$ を $1 (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.2.1.1

$\csc (x)$ を $1 (- \csc^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.1.2

$\csc (x)$ を $\cot^{2} (x) \csc (x)$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.1.3

$\csc (x)$ を $\csc (x) (1 (- \csc (x))) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.1.4

$\csc (x)$ を $\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x)) + \csc (x) \cot^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.2

$- 1$ を $- \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.3

$- 1$ を $\cot^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.4

$- 1$ を $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\csc (x) (1 (- \csc (x)) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.2.6.1

$- \csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.7

分配則を当てはめます。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \csc (x) \csc (x) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.9

$- 1$ を $\csc (x)$ の左に移動させます。

$\frac{- \csc (x) \csc (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.2.10.1

$- \csc (x) \csc (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.2.10.1.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.10.1.2

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.10.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- {\csc (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.10.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.2.10.2

$- 1 \csc (x)$ を $- \csc (x)$ に書き換えます。

$\frac{- \csc^{2} (x) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.3.1

$\csc (x)$ を $- \csc^{2} (x) - \csc (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.3.1.1

$\csc (x)$ を $- \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.3.1.2

$\csc (x)$ を $- \csc (x)$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.3.1.3

$\csc (x)$ を $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.3.2

$- 1$ を $- \csc (x) - 1$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.3.2.1

$- 1$ を $- \csc (x)$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.3.2.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.3.2.3

$- 1$ を $- (\csc (x)) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) + 1))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

$\frac{\csc (x) \cdot - 1 (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.3.3

負をくくり出します。

$\frac{- \csc (x) (\csc (x) + 1)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.4

$\csc (x) + 1$ と ${(1 + \csc (x))}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{- \csc (x) (1 + \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.4.2

$1 + \csc (x)$ を $- \csc (x) (1 + \csc (x))$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3.10.4.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.4.3.1

$1 + \csc (x)$ を ${(1 + \csc (x))}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

ステップ 3.10.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

ステップ 3.10.4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{- \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

ステップ 3.10.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

微分積分 例

微分積分例