微分積分例

$y = \frac{8 x}{3 - \tan (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 x}{3 - \tan (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8 x}{3 - \tan (x)}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \tan (x)}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \tan (x)}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = 3 - \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$8 \frac{(3 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 - \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \frac{(3 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 - \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$3 - \tan (x)$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{3 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [3 - \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $3 - \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ です。

$8 \frac{3 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$8 \frac{3 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ をたし算します。

$8 \frac{3 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \tan (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$8 \frac{3 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.7

掛け算します。

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ステップ 3.3.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$8 \frac{3 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.7.2

$x$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{3 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$8 \frac{3 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

$8$ と $\frac{3 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{8 (3 - \tan (x) + x \sec^{2} (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 \cdot 3 + 8 (- \tan (x)) + 8 (x \sec^{2} (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$8$ に $3$ をかけます。

$\frac{24 + 8 (- \tan (x)) + 8 (x \sec^{2} (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.2.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{24 - 8 \tan (x) + 8 x \sec^{2} (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{8 x \sec^{2} (x) + 24 - 8 \tan (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.4

$8$ を $8 x \sec^{2} (x) + 24 - 8 \tan (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.4.1

$8$ を $8 x \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{8 (x \sec^{2} (x)) + 24 - 8 \tan (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.4.2

$8$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{8 (x \sec^{2} (x)) + 8 (3) - 8 \tan (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.4.3

$8$ を $- 8 \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{8 (x \sec^{2} (x)) + 8 (3) + 8 (- \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.4.4

$8$ を $8 (x \sec^{2} (x)) + 8 (3)$ で因数分解します。

$\frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3) + 8 (- \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.4.5

$8$ を $8 (x \sec^{2} (x) + 3) + 8 (- \tan (x))$ で因数分解します。

$\frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3 - \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3 - \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3 - \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

微分積分 例

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