微分積分例

$y = \frac{8 - \sec (x)}{\tan (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 - \sec (x)}{\tan (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = 8 - \sec (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [8 - \sec (x)] - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $8 - \sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ です。

$\frac{\tan (x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.2.2

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ をたし算します。

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [- \sec (x)] - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sec (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$\frac{\tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{\tan (x) (- (\sec (x) \tan (x))) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.4

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.5

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (8 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.8

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (8 - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) + (- 1 \cdot 8 - - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \cdot 8 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.1.2

指数を足して $\sec (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1.2.1

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.1.2.2

$\sec^{2} (x)$ に $\sec (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1.2.2.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - {\sec (x)}^{2 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) - - \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.1.3

$- - \sec^{3} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + 1 \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.1.3.2

$\sec^{3} (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.2

$\sec (x)$ を $- \sec (x) \tan^{2} (x) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.9.3.2.1

$\sec (x)$ を $- \sec (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) - 8 \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.2.2

$\sec (x)$ を $- 8 \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x)) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.2.3

$\sec (x)$ を $\sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.2.4

$\sec (x)$ を $\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- 8 \sec (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.2.5

$\sec (x)$ を $\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - 8 \sec (x) + \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.3

$\sec^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.4

$- \tan^{2} (x)$ と $\sec^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.6

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.7

$\sec (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\sec (x) - 8 \sec (x) \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.9

$- 8 \sec (x) \sec (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.9.3.9.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec (x) - 8 (\sec^{1} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.9.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec (x) - 8 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.9.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sec (x) - 8 {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.3.9.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sec (x) - 8 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.4

$\sec (x)$ を $\sec (x) - 8 \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.9.4.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sec (x) \cdot 1 - 8 \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.4.2

$\sec (x)$ を $- 8 \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.4.3

$\sec (x)$ を $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- 8 \sec (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

ステップ 3.9.5

$\tan (x)$ を $\tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (1 - 8 \sec (x))}{\tan (x) \tan (x)}$

ステップ 3.9.6

分数を分解します。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

ステップ 3.9.7

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.9.8

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.9.9

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 3.9.10

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 3.9.10.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 3.9.11

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)} \csc (x)$

ステップ 3.9.12

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{\tan (x)}$ と $\csc (x)$ をまとめます。

$\frac{(1 - 8 \sec (x)) \csc (x)}{\tan (x)}$

ステップ 3.9.13

分数を分解します。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\tan (x)}$

ステップ 3.9.14

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.9.15

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.9.16

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 3.9.17

簡約します。

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ステップ 3.9.17.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\csc (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 3.9.17.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{1 - 8 \sec (x)}{1} (\csc (x) \cot (x))$

ステップ 3.9.18

$1 - 8 \sec (x)$ を $1$ で割ります。

$(1 - 8 \sec (x)) (\csc (x) \cot (x))$

ステップ 3.9.19

分配則を当てはめます。

$1 (\csc (x) \cot (x)) - 8 \sec (x) (\csc (x) \cot (x))$

ステップ 3.9.20

$\csc (x) \cot (x)$ に $1$ をかけます。

$\csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \cot (x) - 8 \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

微分積分 例

微分積分例