微分積分例

$y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 1 + \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $1 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9

簡約します。

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ステップ 3.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.9.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.9.2.1.1

$- \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.2.1.3

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.9.2.1.3.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.2.1.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.2.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.2.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.2.2

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.2.3

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.2.4

$- 1$ を $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sin (x) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.3

項をまとめます。

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ステップ 3.9.3.1

$- \sin (x) - 1$ と ${(1 + \sin (x))}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.3.1.1

$- 1$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin (x)) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.3.1.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (\sin (x)) - 1 (1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.3.1.3

$- 1$ を $- (\sin (x)) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.3.1.4

$- (\sin (x) + 1)$ を $- 1 (\sin (x) + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.3.1.5

項を並べ替えます。

$\frac{- 1 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.3.1.6

$1 + \sin (x)$ を $- 1 (1 + \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.9.3.1.7

共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.3.1.7.1

$1 + \sin (x)$ を ${(1 + \sin (x))}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

ステップ 3.9.3.1.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

ステップ 3.9.3.1.7.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1 + \sin (x)}$

ステップ 3.9.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{1 + \sin (x)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$

微分積分 例

微分積分例