微分積分例

$y = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 2})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x^{2} + 2 x - 2$ および $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 2] - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.10

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.12

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.13

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2 + 0)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.14

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2) + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} - 2 x + 2) (2 x + 2)$ を展開します。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

$- 2 x \cdot 2$ と $2 (2 x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$- 2 \cdot 2 x$ と $2 \cdot 2 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 0 + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.2.3

$x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3.3

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 2 x (2 x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3.6

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.3.7

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.4

$2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - (2 x) - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - 2 x - - 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.5.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 + (- x^{2} - 2 x + 2) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- x^{2} - 2 x + 2) (2 x - 2)$ を展開します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.7.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.7.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.7

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.8

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.9

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.7.10

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x + 4 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.8

$2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.1.9

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 + 0 - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2.2

$- 2 x^{2} + 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 8 x - 4}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2.3

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x + 0}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2.4

$- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.3

$- 2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 4 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$4 x$ を $- 4 x^{2} + 8 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$4 x$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 x (- x) + 8 x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.2

$4 x$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{4 x (- x) + 4 x (2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.3.3

$4 x$ を $4 x (- x) + 4 x (2)$ で因数分解します。

$\frac{4 x (- x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{4 x (- (x) + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{4 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{4 x (- (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.7

$- (x - 2)$ を $- 1 (x - 2)$ に書き換えます。

$\frac{4 x (- 1 (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(4 x) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例