微分積分例

$y = \frac{e^{y}}{1 + \sin (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{y}}{1 + \sin (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = e^{y}$ および $g (x) = 1 + \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [e^{y}] - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{(1 + \sin (x)) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

総和則では、 $1 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(1 e^{y} + \sin (x) e^{y}) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.3.1

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.6.3.2

$e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に ${(1 + \sin (x))}^{2}$ を掛けます。

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.2.1.2

$e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

$y'$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

ステップ 5.3.2

$y' {(1 + \sin (x))}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

書き換えます。

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = 0 + 0 + y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

ステップ 5.3.2.2

${(1 + \sin (x))}^{2}$ を $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ に書き換えます。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))$

ステップ 5.3.2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ を展開します。

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ステップ 5.3.2.3.1

分配則を当てはめます。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

ステップ 5.3.2.3.2

分配則を当てはめます。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

ステップ 5.3.2.3.3

分配則を当てはめます。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

ステップ 5.3.2.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.3.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

ステップ 5.3.2.4.1.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

ステップ 5.3.2.4.1.3

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x))$

ステップ 5.3.2.4.1.4

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1.4.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x))$

ステップ 5.3.2.4.1.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

ステップ 5.3.2.4.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1})$

ステップ 5.3.2.4.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x))$

ステップ 5.3.2.4.2

$\sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x))$

ステップ 5.3.2.5

分配則を当てはめます。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

ステップ 5.3.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1

$y'$ に $1$ をかけます。

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

ステップ 5.3.2.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x)$

ステップ 5.3.3

$y'$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.4

$y'$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.3.4.1

方程式の両辺から $y' e^{y}$ を引きます。

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} = y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.4.2

方程式の両辺から $y' e^{y} \sin (x)$ を引きます。

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.5

$y'$ を $y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.5.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.5.2

$y'$ を $2 y' \sin (x)$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.5.3

$y'$ を $y' \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.5.4

$y'$ を $- y' e^{y}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.5.5

$y'$ を $- y' e^{y} \sin (x)$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.5.6

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x))$ で因数分解します。

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.5.7

$y'$ を $y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.5.8

$y'$ を $y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y})$ で因数分解します。

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.5.9

$y'$ を $y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x))$ で因数分解します。

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.6

$- 1 e^{y}$ を $- e^{y}$ に書き換えます。

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.7

$- 1 e^{y}$ を $- e^{y}$ に書き換えます。

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

ステップ 5.3.8

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ の各項を $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ の各項を $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ で割ります。

$\frac{y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x))}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)} = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

ステップ 5.3.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.2.1

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.3.8.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

ステップ 5.3.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

微分積分 例

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