微分積分例

$y = \frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = {(x + 5)}^{3}$ および $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{({(x - 3)}^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2

${({(x - 3)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{3 \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x + 5$ とします。

$\frac{{(x - 3)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 3)}^{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x + 5$ で置き換えます。

$\frac{{(x - 3)}^{3} (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

$3$ を ${(x - 3)}^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.4.2

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.4.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (1 + 0) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.4.5

式を簡約します。

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ステップ 3.4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} \cdot 1 - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.4.5.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.5

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - 3$ とします。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.5.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.6

微分します。

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ステップ 3.6.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.6.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.6.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.6.5

式を簡約します。

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ステップ 3.6.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.6.5.2

${(x - 3)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ を $3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.1.1.1

$3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ を $3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.7.1.1.2

$3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ を $- 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) + 3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- (x + 5))}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.7.1.1.3

$3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ を $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) + 3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- (x + 5))$ で因数分解します。

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - (x + 5))}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.7.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - x - 1 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.7.1.3

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - x - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.7.1.4

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (0 - 3 - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.7.1.5

$0$ から $3$ を引きます。

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- 3 - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.7.1.6

$- 3$ から $5$ を引きます。

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} \cdot - 8}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.7.1.7

$- 8$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 24 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.7.2

項をまとめます。

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ステップ 3.7.2.1

${(x - 3)}^{2}$ と ${(x - 3)}^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.1.1

${(x - 3)}^{2}$ を $- 24 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 3.7.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.1.2.1

${(x - 3)}^{2}$ を ${(x - 3)}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.7.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.7.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.7.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例