微分積分例

$\arctan (x^{2} y) = x + x y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\arctan (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (x + x y^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x^{2} y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} y$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + y (2 x))$

ステップ 2.5

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

積の法則を $x^{2} y$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

ステップ 2.6.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

ステップ 2.6.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$

ステップ 2.6.3

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (x^{2} y' + 2 y x)$ の因数を並べ替えます。

$(x^{2} y' + 2 y x) \frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$

ステップ 2.6.4

$x^{2} y' + 2 y x$ に $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ をかけます。

$\frac{x^{2} y' + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

ステップ 2.6.5

$x$ を $x^{2} y' + 2 y x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

$x$ を $x^{2} y'$ で因数分解します。

$\frac{x (x y') + 2 y x}{1 + x^{4} y^{2}}$

ステップ 2.6.5.2

$x$ を $2 y x$ で因数分解します。

$\frac{x (x y') + x (2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

ステップ 2.6.5.3

$x$ を $x (x y') + x (2 y)$ で因数分解します。

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x + x y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 3.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

ステップ 3.2.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$1 + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

ステップ 3.2.6

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$1 + 2 x y y' + y^{2}$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$y^{2} + 2 x y y' + 1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} = y^{2} + 2 x y y' + 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

両辺に $1 + x^{4} y^{2}$ を掛けます。

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$1 + x^{4} y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x y' + 2 y)}{1 + x^{4} y^{2}} (1 + x^{4} y^{2}) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$x (x y' + 2 y) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$x (x y') + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.3.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} y' + x (2 y) = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} y' + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.1.1.5

$x^{2}$ と $y'$ を並べ替えます。

$y' x^{2} + 2 x y = (y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$(y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(y^{2} + 2 x y y' + 1) (1 + x^{4} y^{2})$ を展開します。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.1

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} (x^{4} y^{2}) + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.2

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.2.1

$y^{2}$ を移動させます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2} y^{2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{2 + 2} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' \cdot 1 + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x y y' (x^{4} y^{2}) + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.4

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.4.1

$x^{4}$ を移動させます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x) y y' y^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.4.2

$x^{4}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 (x^{4} x^{1}) y y' y^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{4 + 1} y y' y^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.4.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y y' y^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.1

$y^{2}$ を移動させます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y) y' + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} (y^{2} y^{1}) y' + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{2 + 1} y' + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 \cdot 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 + 1 (x^{4} y^{2})$

ステップ 5.2.2.1.2.1.7

$x^{4} y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + y^{4} x^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 + x^{4} y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.2.1

$y^{4}$ と $x^{4}$ を並べ替えます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y y' + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 + x^{4} y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.2.2

$y$ を移動させます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 x y' y + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 + x^{4} y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.2.3

$x$ を移動させます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y^{3} y' + 1 + x^{4} y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.2.4

$y^{3}$ を移動させます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 x^{5} y' y^{3} + 1 + x^{4} y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.2.5

$x^{5}$ を移動させます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3} + 1 + x^{4} y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.2.2.6

$1$ を移動させます。

$y' x^{2} + 2 x y = y^{2} + x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{2} + 1$

ステップ 5.2.2.1.2.2.7

$y^{2}$ を移動させます。

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x y + 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{2} + y^{2} + 1$

ステップ 5.2.2.1.2.2.8

$2 y' x y$ を移動させます。

$y' x^{2} + 2 x y = x^{4} y^{4} + 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{2} + 2 y' x y + y^{2} + 1$

ステップ 5.2.2.1.2.2.9

$x^{4} y^{4}$ と $2 y' x^{5} y^{3}$ を並べ替えます。

$y' x^{2} + 2 x y = 2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + x^{4} y^{2} + 2 y' x y + y^{2} + 1$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$y'$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + x^{4} y^{2} + 2 y' x y + y^{2} + 1 = y' x^{2} + 2 x y$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $y' x^{2}$ を引きます。

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{4} + x^{4} y^{2} + 2 y' x y + y^{2} + 1 - y' x^{2} = 2 x y$

ステップ 5.3.3

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

方程式の両辺から $x^{4} y^{4}$ を引きます。

$2 y' x^{5} y^{3} + x^{4} y^{2} + 2 y' x y + y^{2} + 1 - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4}$

ステップ 5.3.3.2

方程式の両辺から $x^{4} y^{2}$ を引きます。

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + y^{2} + 1 - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2}$

ステップ 5.3.3.3

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y + 1 - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2}$

ステップ 5.3.3.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

ステップ 5.3.4

$y' x$ を $2 y' x^{5} y^{3} + 2 y' x y - y' x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$y' x$ を $2 y' x^{5} y^{3}$ で因数分解します。

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + 2 y' x y - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

ステップ 5.3.4.2

$y' x$ を $2 y' x y$ で因数分解します。

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) - y' x^{2} = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

ステップ 5.3.4.3

$y' x$ を $- y' x^{2}$ で因数分解します。

$y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

ステップ 5.3.4.4

$y' x$ を $y' x (2 x^{4} y^{3}) + y' x (2 y)$ で因数分解します。

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

ステップ 5.3.4.5

$y' x$ を $y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y) + y' x (- 1 x)$ で因数分解します。

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - 1 x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

ステップ 5.3.5

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$

ステップ 5.3.6

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$ の各項を $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) = 2 x y - x^{4} y^{4} - x^{4} y^{2} - y^{2} - 1$ の各項を $x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)$ で割ります。

$\frac{y' x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.3.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.2.2

$2 x^{4} y^{3} + 2 y - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.3.6.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x y}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.1.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.3.6.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{4} y^{4}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.1.2

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.1.2.1

$x$ を $- x^{4} y^{4}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{4})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.3.6.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.1.4

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.1.4.1

$x$ を $- x^{4} y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{x (- x^{3} y^{2})}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.1.4.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.3.6.3.1.4.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} + \frac{- y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} + \frac{- 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 y}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 y - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.2.2

$y$ を $2 y - x^{3} y^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.2.2.1

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot 2 - x^{3} y^{4}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.2.2.2

$y$ を $- x^{3} y^{4}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.2.2.3

$y$ を $y \cdot 2 + y (- x^{3} y^{3})$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3})}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) - x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.2.4

$y$ を $y (2 - x^{3} y^{3}) - x^{3} y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.2.4.1

$y$ を $- x^{3} y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3}) + y (- x^{3} y)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.2.4.2

$y$ を $y (2 - x^{3} y^{3}) + y (- x^{3} y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.3

$\frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.4.1

$\frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y)}{2 x^{4} y^{3} + 2 y - x}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x}{(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.4.2

$(2 x^{4} y^{3} + 2 y - x) x$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.5

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.6.1

$y$ を $y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.6.1.1

$y$ を $y (2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) - y^{2}}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6.1.2

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) + y (- y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6.1.3

$y$ を $y ((2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x) + y (- y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{y ((2 - x^{3} y^{3} - x^{3} y) x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6.2

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{y (2 x - x^{3} y^{3} x - x^{3} y x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.6.3.1

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.6.3.1.1

$x$ を移動させます。

$y' = \frac{y (2 x - (x \cdot x^{3}) y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6.3.1.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.6.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{y (2 x - (x^{1} x^{3}) y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{y (2 x - x^{1 + 3} y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6.3.1.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - x^{3} y x - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6.3.2

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.6.3.2.1

$x$ を移動させます。

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - (x \cdot x^{3}) y - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6.3.2.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.6.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - (x^{1} x^{3}) y - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - x^{1 + 3} y - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.6.3.2.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - x^{4} y - y)}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)} - \frac{1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.7

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y (2 x - x^{4} y^{3} - x^{4} y - y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.8.1

分配則を当てはめます。

$y' = \frac{y (2 x) + y (- x^{4} y^{3}) + y (- x^{4} y) + y (- y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.8.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{2 y x + y (- x^{4} y^{3}) + y (- x^{4} y) + y (- y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{2 y x - y (x^{4} y^{3}) + y (- x^{4} y) + y (- y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{2 y x - y (x^{4} y^{3}) - y (x^{4} y) + y (- y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{2 y x - y (x^{4} y^{3}) - y (x^{4} y) - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.8.3.1

指数を足して $y$ に $y^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.8.3.1.1

$y^{3}$ を移動させます。

$y' = \frac{2 y x - (y^{3} y) x^{4} - y (x^{4} y) - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.3.1.2

$y^{3}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.8.3.1.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$y' = \frac{2 y x - (y^{3} y^{1}) x^{4} - y (x^{4} y) - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = \frac{2 y x - y^{3 + 1} x^{4} - y (x^{4} y) - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.3.1.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$y' = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - y (x^{4} y) - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.3.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.8.3.2.1

$y$ を移動させます。

$y' = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - (y \cdot y) x^{4} - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.3.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - y^{2} x^{4} - y \cdot y - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.3.3

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.3.8.3.3.1

$y$ を移動させます。

$y' = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - y^{2} x^{4} - (y \cdot y) - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 5.3.6.3.8.3.3.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - y^{2} x^{4} - y^{2} - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y x - y^{4} x^{4} - y^{2} x^{4} - y^{2} - 1}{x (2 x^{4} y^{3} + 2 y - x)}$

微分積分 例

微分積分例