微分積分例

$x = \ln (1 - 7 y^{2})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\ln (1 - 7 y^{2}))$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 - 7 y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 - 7 y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

ステップ 3.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

ステップ 3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 - 7 y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $1 - 7 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$ です。

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}])$

ステップ 3.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}])$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$

ステップ 3.2.4

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 y^{2}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (- 7 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 3.2.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$- 7$ と $\frac{1}{1 - 7 y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 7}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4.2

$- 2$ と $\frac{7}{1 - 7 y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 7}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4.3

$- 2$ に $7$ をかけます。

$\frac{- 14}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.4.4

$y$ と $\frac{- 14}{1 - 7 y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y \cdot - 14}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$- 14$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{- 14 \cdot y}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.4.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{14 y}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \frac{14 y}{1 - 7 y^{2}} y'$

ステップ 3.6

$y'$ と $\frac{14 y}{1 - 7 y^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{y' (14 y)}{1 - 7 y^{2}}$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{14 y' y}{1 - 7 y^{2}}$

ステップ 3.7.2

$14 y' y$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = - \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ として書き換えます。

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$

ステップ 5.2

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = - 1$

ステップ 5.3

両辺に $1 - 7 y^{2}$ を掛けます。

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} (1 - 7 y^{2}) = - (1 - 7 y^{2})$

ステップ 5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

$1 - 7 y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} (1 - 7 y^{2}) = - (1 - 7 y^{2})$

ステップ 5.4.1.1.2

式を書き換えます。

$14 y y' = - (1 - 7 y^{2})$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$- (1 - 7 y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$14 y y' = - 1 \cdot 1 - (- 7 y^{2})$

ステップ 5.4.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$14 y y' = - 1 - (- 7 y^{2})$

ステップ 5.4.2.1.2.2

$- 7$ に $- 1$ をかけます。

$14 y y' = - 1 + 7 y^{2}$

ステップ 5.4.2.1.2.3

$- 1$ と $7 y^{2}$ を並べ替えます。

$14 y y' = 7 y^{2} - 1$

ステップ 5.5

$14 y y' = 7 y^{2} - 1$ の各項を $14 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$14 y y' = 7 y^{2} - 1$ の各項を $14 y$ で割ります。

$\frac{14 y y'}{14 y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$14$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{14 y y'}{14 y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1

$7$ と $14$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1.1

$7$ を $7 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{7 (y^{2})}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.1.2.1

$7$ を $14 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{7 (y^{2})}{7 (2 y)} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{7 y^{2}}{7 (2 y)} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{y^{2}}{2 y} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.3.1.2

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot y}{2 y} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1.2.2.1

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 2} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 2} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{y}{2} + \frac{- 1}{14 y}$

ステップ 5.5.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{y}{2} - \frac{1}{14 y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} - \frac{1}{14 y}$

微分積分 例

微分積分例