微分積分例

$y = {(x^{2} \ln (x))}^{4}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} \ln (x))}^{4})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{2} \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

ステップ 3.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} \ln (x)$ で置き換えます。

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.2.2.3

共通因数を約分します。

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.2.2.4

式を書き換えます。

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.2.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(x^{2} \ln (x))}^{3} (x + \ln (x) (2 x))$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

積の法則を $x^{2} \ln (x)$ に当てはめます。

$4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (x + \ln (x) (2 x))$

ステップ 3.5.2

分配則を当てはめます。

$4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

ステップ 3.5.3

項をまとめます。

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ステップ 3.5.3.1

${(x^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (x^{2 \cdot 3} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

ステップ 3.5.3.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$4 (x^{6} \ln^{3} (x)) x + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

ステップ 3.5.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (x^{1} x^{6}) \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

ステップ 3.5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{1 + 6} \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

ステップ 3.5.3.4

$1$ と $6$ をたし算します。

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 ({(x^{2})}^{3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

ステップ 3.5.3.5

${(x^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 (x^{2 \cdot 3} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

ステップ 3.5.3.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 4 (x^{6} \ln^{3} (x)) (\ln (x) (2 x))$

ステップ 3.5.3.6

$2$ に $4$ をかけます。

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{6} \ln^{3} (x) (\ln (x) (x))$

ステップ 3.5.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 (x^{1} x^{6}) \ln^{3} (x) \ln (x)$

ステップ 3.5.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{1 + 6} \ln^{3} (x) \ln (x)$

ステップ 3.5.3.9

$1$ と $6$ をたし算します。

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{3} (x) \ln (x)$

ステップ 3.5.3.10

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} (\ln^{1} (x) \ln^{3} (x))$

ステップ 3.5.3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} {\ln (x)}^{1 + 3}$

ステップ 3.5.3.12

$1$ と $3$ をたし算します。

$4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{7} \ln^{3} (x) + 8 x^{7} \ln^{4} (x)$

微分積分 例

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