微分積分例

$y = (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

ステップ 1

括弧を削除します。

$y = 2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

ステップ 4.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

ステップ 4.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \csc^{2} (3 x - 1)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$ です。

$2 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$

ステップ 4.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \csc (3 x - 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\csc (3 x - 1)$ とします。

$2 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

ステップ 4.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

ステップ 4.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\csc (3 x - 1)$ で置き換えます。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

ステップ 4.3.3

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x - 1$ とします。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

ステップ 4.3.3.2

$u_{2}$ に関する $\csc (u_{2})$ の微分係数は $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ です。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

ステップ 4.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

ステップ 4.3.4

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

ステップ 4.3.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

ステップ 4.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])))$

ステップ 4.3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

ステップ 4.3.8

$3$ に $1$ をかけます。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 + 0)))$

ステップ 4.3.9

$3$ と $0$ をたし算します。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \cdot 3))$

ステップ 4.3.10

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- 3 \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

ステップ 4.3.11

$- 3$ に $2$ をかけます。

$2 - (- 6 \csc (3 x - 1) (\csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

ステップ 4.3.12

$\csc (3 x - 1)$ を $1$ 乗します。

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

ステップ 4.3.13

$\csc (3 x - 1)$ を $1$ 乗します。

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc^{1} (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

ステップ 4.3.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 - (- 6 {\csc (3 x - 1)}^{1 + 1} \cot (3 x - 1))$

ステップ 4.3.15

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 - (- 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1))$

ステップ 4.3.16

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$2 + 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1)$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

微分積分 例

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