微分積分例

$y = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ および $g (x) = x - \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}] + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $x - \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ です。

$(x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 3.3

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 3.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 3.4.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 3.4.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 3.4.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 3.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 3.4.5.2

$1 + x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

ステップ 3.4.6

総和則では、 $x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 3.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 3.4.8

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 3.4.9

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

ステップ 3.5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.5.3

項を並べ替えます。

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1.1

分配則を当てはめます。

$1 (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.1.2

分配則を当てはめます。

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.1.3

分配則を当てはめます。

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1.1

$x$ に $1$ をかけます。

$x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.2.1.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.2.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.2.1.3.3

式を書き換えます。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.2.1.4

まとめる。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.2.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1.5.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1.5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x^{1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.2.1.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2 + 1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.2.1.5.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.2.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.2.2

$\frac{1}{x}$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$x + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.3

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.4

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.4.1

分配則を当てはめます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 (x - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.4.2

分配則を当てはめます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.4.3

分配則を当てはめます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.5.1.1

$x$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.5.1.2

$- \frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.5.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.5.1.3.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.5.1.3.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.5.1.3.3

共通因数を約分します。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.5.1.3.4

式を書き換えます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.5.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

ステップ 3.5.4.5.1.5

$- \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.5.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x^{2}} \frac{1}{x}$

ステップ 3.5.4.5.1.5.2

$\frac{1}{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 3.5.4.5.1.5.3

$\frac{1}{x^{2}}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x}$

ステップ 3.5.4.5.1.5.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.5.1.5.4.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.5.1.5.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x^{1}}$

ステップ 3.5.4.5.1.5.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2 + 1}}$

ステップ 3.5.4.5.1.5.4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 3.5.4.5.2

$- \frac{1}{x}$ から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 3.5.4.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.6.1

$- 2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 3.5.4.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 3.5.5

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

$\frac{2}{x}$ から $\frac{2}{x}$ を引きます。

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + 0 + \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 3.5.5.2

$x + \frac{1}{x^{3}} + x$ と $0$ をたし算します。

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 3.5.6

公分母の分子をまとめます。

$x + x + \frac{1 + 1}{x^{3}}$

ステップ 3.5.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$x + x + \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 3.5.8

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例