微分積分例

$y = 2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

ステップ 3.3.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$4 x - 5 + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{- 2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ です。

$4 x - 5 + 3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

ステップ 3.4.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x - 5 + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

ステップ 3.4.3

$- 2$ に $3$ をかけます。

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.5.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{- 3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ です。

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 3.5.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + 4 (- 3 x^{- 4})$

ステップ 3.5.3

$- 3$ に $4$ をかけます。

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} - 12 x^{- 4}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 x - 5 - 6 \frac{1}{x^{3}} - 12 x^{- 4}$

ステップ 3.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 x - 5 - 6 \frac{1}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.6.3

項をまとめます。

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ステップ 3.6.3.1

$- 6$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$4 x - 5 + \frac{- 6}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.6.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 3.6.3.3

$- 12$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} + \frac{- 12}{x^{4}}$

ステップ 3.6.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}}$

ステップ 3.6.4

項を並べ替えます。

$4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$

微分積分 例

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