微分積分例

$y = 3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{8}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{8}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

ステップ 3.2.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

ステップ 3.2.3

$8$ に $3$ をかけます。

$24 x^{7} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$24 x^{7} - \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

ステップ 3.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$24 x^{7} - \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2})$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

項を並べ替えます。

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 3.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$24 x^{7} + x^{3} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 3.5.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 3.5.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 3.5.2.4

$x^{3}$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 3.5.2.5

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 3.5.2.6

$3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.6.1

$3$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 3.5.2.6.2

$x^{2}$ と $\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{x^{2} (3 \sin (x))}{\cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 3.5.2.7

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 3.5.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$1$ を掛けます。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 3.5.3.2

分数を分解します。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 3.5.3.3

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 3.5.3.4

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 3.5.3.5

分数を分解します。

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

ステップ 3.5.3.6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 3.5.3.7

$3 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

微分積分 例

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