微分積分例

$y = 5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 4 x^{5} - 7 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x^{3}] + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $4 x^{5} - 7 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ です。

$5 (x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{5}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$5 (x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{3} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.4

$5$ に $4$ をかけます。

$5 (x^{3} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.5

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x^{3}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 (3 x^{2})) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.7

$3$ に $- 7$ をかけます。

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3.8

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) (3 x^{2}))$

ステップ 3.3.9

$3$ を $4 x^{5} - 7 x^{3}$ の左に移動させます。

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + 3 \cdot (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + (3 (4 x^{5}) + 3 (- 7 x^{3})) x^{2})$

ステップ 3.4.3

分配則を当てはめます。

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5}) x^{2} + 3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.4

分配則を当てはめます。

$5 (x^{3} (20 x^{4})) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

指数を足して $x^{3}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.1

$x^{4}$ を移動させます。

$5 (x^{4} x^{3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 (x^{4 + 3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.1.3

$4$ と $3$ をたし算します。

$5 (x^{7} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.2

$20$ を $x^{7}$ の左に移動させます。

$5 (20 \cdot x^{7}) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.3

$20$ に $5$ をかけます。

$100 x^{7} + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.4

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.5.4.1

$x^{2}$ を移動させます。

$100 x^{7} + 5 (x^{2} x^{3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$100 x^{7} + 5 (x^{2 + 3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.4.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$100 x^{7} + 5 (x^{5} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.5

$- 21$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$100 x^{7} + 5 (- 21 \cdot x^{5}) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.6

$- 21$ に $5$ をかけます。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.7

$4$ に $3$ をかけます。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{5} x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.8

指数を足して $x^{5}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.8.1

$x^{2}$ を移動させます。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 (x^{2} x^{5})) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{2 + 5}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.8.3

$2$ と $5$ をたし算します。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{7}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.9

$12$ に $5$ をかけます。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

ステップ 3.4.5.10

$- 7$ に $3$ をかけます。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{3} x^{2})$

ステップ 3.4.5.11

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.11.1

$x^{2}$ を移動させます。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 (x^{2} x^{3}))$

ステップ 3.4.5.11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{2 + 3})$

ステップ 3.4.5.11.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{5})$

ステップ 3.4.5.12

$- 21$ に $5$ をかけます。

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} - 105 x^{5}$

ステップ 3.4.5.13

$100 x^{7}$ と $60 x^{7}$ をたし算します。

$160 x^{7} - 105 x^{5} - 105 x^{5}$

ステップ 3.4.5.14

$- 105 x^{5}$ から $105 x^{5}$ を引きます。

$160 x^{7} - 210 x^{5}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 160 x^{7} - 210 x^{5}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 160 x^{7} - 210 x^{5}$

微分積分 例

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