微分積分例

$y = 5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \cos^{- 4} (x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{- 4}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 3.2.2.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 3.2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 3.2.4

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$5 (4 \cos^{- 5} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 3.2.5

$4$ に $5$ をかけます。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

ステップ 3.3.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

ステップ 3.3.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)$

ステップ 3.3.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)$

ステップ 3.3.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

ステップ 3.3.8

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

ステップ 3.3.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

ステップ 3.3.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

ステップ 3.3.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- \sin^{2} (x)$ と $\cos^{2} (x)$ を並べ替えます。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

ステップ 3.4.2

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

ステップ 3.4.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$20 \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

ステップ 3.4.3.2

$20$ と $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ をまとめます。

$\frac{20}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

ステップ 3.4.3.3

$1$ を掛けます。

$\frac{20}{\cos^{5} (x) \cdot 1} \sin (x) + \cos (2 x)$

ステップ 3.4.3.4

分数を分解します。

$\frac{20}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

ステップ 3.4.3.5

$\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ を $\sec^{5} (x)$ に変換します。

$\frac{20}{1} \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

ステップ 3.4.3.6

$20$ を $1$ で割ります。

$20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

微分積分 例

微分積分例