微分積分例

$y = 4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 x {(3 x - 9)}^{- 4})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x {(3 x - 9)}^{- 4}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x {(3 x - 9)}^{- 4}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(3 x - 9)}^{- 4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{- 4}] + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 4}$ および $g (x) = 3 x - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 9$ とします。

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 9$ で置き換えます。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

微分します。

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ステップ 3.4.1

総和則では、 $3 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.4

$3$ に $1$ をかけます。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.5

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.6

式を簡約します。

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ステップ 3.4.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$4 (x (- 4 {(3 x - 9)}^{- 5} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.6.2

$3$ に $- 4$ をかけます。

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4} \cdot 1)$

ステップ 3.4.8

${(3 x - 9)}^{- 4}$ に $1$ をかけます。

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5}) + {(3 x - 9)}^{- 4})$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$4 (x (- 12 {(3 x - 9)}^{- 5})) + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.2

$- 12$ に $4$ をかけます。

$- 48 x {(3 x - 9)}^{- 5} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 48 x \frac{1}{{(3 x - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.3.2.1

$3$ を $3 x - 9$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.3.2.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$- 48 x \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.2.1.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot - 3$ で因数分解します。

$- 48 x \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.2.2

積の法則を $3 (x - 3)$ に当てはめます。

$- 48 x \frac{1}{3^{5} {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.2.3

$3$ を $5$ 乗します。

$- 48 x \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.3.1

$3$ を $- 48 x$ で因数分解します。

$3 (- 16 x) \frac{1}{243 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.3.2

$3$ を $243 {(x - 3)}^{5}$ で因数分解します。

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.3.3

共通因数を約分します。

$3 (- 16 x) \frac{1}{3 (81 {(x - 3)}^{5})} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.3.4

式を書き換えます。

$- 16 x \frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.4

$- 16$ と $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{5}}$ をまとめます。

$x \frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.5

$x$ と $\frac{- 16}{81 {(x - 3)}^{5}}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot - 16}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.6

$- 16$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16 \cdot x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 {(3 x - 9)}^{- 4}$

ステップ 3.5.3.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x - 9)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.9

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.3.9.1

$3$ を $3 x - 9$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.3.9.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x) - 9)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.9.1.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.9.1.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot - 3$ で因数分解します。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{{(3 (x - 3))}^{4}}$

ステップ 3.5.3.9.2

積の法則を $3 (x - 3)$ に当てはめます。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{3^{4} {(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.9.3

$3$ を $4$ 乗します。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + 4 \frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$

ステップ 3.5.3.10

$4$ と $\frac{1}{81 {(x - 3)}^{4}}$ をまとめます。

$- \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x}{81 {(x - 3)}^{5}} + \frac{4}{81 {(x - 3)}^{4}}$

微分積分 例

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