微分積分例

$y = e^{7 - (\frac{5}{x})}$

ステップ 1

$- 1$ に $\frac{5}{x}$ をかけます。

$y = e^{7 - \frac{5}{x}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{7 - \frac{5}{x}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 7 - \frac{5}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 - \frac{5}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $7 - \frac{5}{x}$ で置き換えます。

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

ステップ 4.2

微分します。

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ステップ 4.2.1

総和則では、 $7 - \frac{5}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ です。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

ステップ 4.2.2

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

ステップ 4.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ をたし算します。

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

ステップ 4.2.4

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{5}{x}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 4.2.5

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 4.2.6

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 (- x^{- 2}))$

ステップ 4.2.7

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 x^{- 2})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 4.3.2

項をまとめます。

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ステップ 4.3.2.1

$5$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 4.3.2.2

$e^{7 - \frac{5}{x}}$ と $\frac{5}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{7 - \frac{5}{x}} \cdot 5}{x^{2}}$

ステップ 4.3.2.3

$5$ を $e^{7 - \frac{5}{x}}$ の左に移動させます。

$\frac{5 e^{7 - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 4.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{5 e^{\frac{7 x}{x} - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 4.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例