微分積分例

$y = \sqrt{\sec (8 x)}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\sec (8 x)}$ を ${\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \sec (8 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (8 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

ステップ 4.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (8 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

ステップ 4.6

分数をまとめます。

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ステップ 4.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

ステップ 4.6.2

$\frac{1}{2}$ と ${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

ステップ 4.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

ステップ 4.7

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $8 x$ とします。

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

ステップ 4.7.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])$

ステップ 4.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (8 x) \tan (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

ステップ 4.8

分数をまとめます。

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ステップ 4.8.1

$\sec (8 x)$ と $\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\sec (8 x)}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

ステップ 4.8.2

$\tan (8 x)$ と $\frac{\sec (8 x)}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\tan (8 x) \sec (8 x)}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 4.8.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して ${\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{\tan (8 x) \sec (8 x) {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 4.9

指数を足して $\sec (8 x)$ に ${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.9.1

${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\tan (8 x) ({\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (8 x))}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 4.9.2

${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ に $\sec (8 x)$ をかけます。

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ステップ 4.9.2.1

$\sec (8 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\tan (8 x) ({\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (8 x))}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 4.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 4.9.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 4.9.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 4.9.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

ステップ 4.10

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.11

項を簡約します。

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ステップ 4.11.1

$8$ と $\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{8 (\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.11.2

$2$ を $8 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.12

共通因数を約分します。

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ステップ 4.12.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.12.3

式を書き換えます。

$\frac{4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.12.4

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 4.14

式を簡約します。

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ステップ 4.14.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.14.2

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ の因数を並べ替えます。

$4 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (8 x)$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 4 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (8 x)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 4 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (8 x)$

微分積分 例

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