微分積分例

$y = x^{2 \cot (x)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2 \cot (x)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x^{2 \cot (x)}$ を $e^{\ln (x^{2 \cot (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \cot (x)})}]$

ステップ 3.1.2

$2 \cot (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{2 \cot (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{2 \cot (x) \ln (x)}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 \cot (x) \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 \cot (x) \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 \cot (x) \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

ステップ 3.3

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cot (x) \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)]$ です。

$e^{2 \cot (x) \ln (x)} (2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)])$

ステップ 3.3.2

$2$ を $e^{2 \cot (x) \ln (x)}$ の左に移動させます。

$2 \cdot e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)]$

ステップ 3.4

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\cot (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\cot (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 3.6

$\cot (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\frac{\cot (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 3.7

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\frac{\cot (x)}{x} + \ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

ステップ 3.8

簡約します。

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ステップ 3.8.1

分配則を当てはめます。

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{\cot (x)}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

ステップ 3.8.2

項をまとめます。

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ステップ 3.8.2.1

$\frac{\cot (x)}{x}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\cot (x) \cdot 2}{x} e^{2 \cot (x) \ln (x)} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

ステップ 3.8.2.2

$\frac{\cot (x) \cdot 2}{x}$ と $e^{2 \cot (x) \ln (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cot (x) \cdot 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

ステップ 3.8.2.3

$2$ を $\cot (x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

ステップ 3.8.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \ln (x) \csc^{2} (x)$

ステップ 3.8.3

項を並べ替えます。

$- 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$

微分積分 例

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