微分積分例

$y = \ln (\tan (x))$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\tan (x)))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\tan (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.5

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\cot (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

$\cot (x) \sec^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$\sec^{2} (x) \cot (x)$

ステップ 3.6.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

ステップ 3.6.3

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.6.4

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.6.5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.5.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.6.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.6.5.3

式を書き換えます。

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 3.6.6

$\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 3.6.7

分数を分解します。

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.6.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

ステップ 3.6.9

分数を分解します。

$\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

ステップ 3.6.10

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

ステップ 3.6.11

$1^{2}$ を $1$ で割ります。

$1^{2} \csc (x) \sec (x)$

ステップ 3.6.12

1のすべての数の累乗は1です。

$1 \csc (x) \sec (x)$

ステップ 3.6.13

$\csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\csc (x) \sec (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \csc (x) \sec (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \sec (x)$

微分積分 例

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