微分積分例

$y = \ln (x^{6} (x^{9} - x + 5))$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{6} (x^{9} - x + 5)))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{6} (x^{9} - x + 5)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = x^{9} - x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} \frac{d}{d x} [x^{9} - x + 5] + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $x^{9} - x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 3.3.2

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 3.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 3.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 3.3.6

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 + 0) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 3.3.7

$9 x^{8} - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 3.3.8

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + (x^{9} - x + 5) (6 x^{5}))$

ステップ 3.3.9

$6$ を $x^{9} - x + 5$ の左に移動させます。

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + 6 \cdot (x^{9} - x + 5) x^{5})$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + 6 (x^{9} - x + 5) x^{5})$

ステップ 3.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 (x^{9} - x + 5) x^{5})$

ステップ 3.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + (6 x^{9} + 6 (- x) + 6 \cdot 5) x^{5})$

ステップ 3.4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

指数を足して $x^{6}$ に $x^{9}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{6 + 9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.1.2

$6$ と $9$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{15} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.2

指数を足して $x^{6}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{1}{x^{15} + x \cdot x^{6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.2.2

$x$ に $x^{6}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{15} + x^{1} x^{6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{15} + x^{1 + 6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.2.3

$1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{15} + x^{7} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.3

$- 1$ を $x^{7}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{x^{15} - 1 \cdot x^{7} + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.4

$- 1 x^{7}$ を $- x^{7}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.5

$5$ を $x^{6}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 \cdot x^{6}} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.6

指数を足して $x^{6}$ に $x^{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.6.1

$x^{8}$ を移動させます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{8} x^{6} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{8 + 6} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.6.3

$8$ と $6$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{14} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.7

$9$ を $x^{14}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 \cdot x^{14} + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.8

$- 1$ を $x^{6}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - 1 \cdot x^{6} + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.9

$- 1 x^{6}$ を $- x^{6}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.10

指数を足して $x^{9}$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.10.1

$x^{5}$ を移動させます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 (x^{5} x^{9}) + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.10.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{5 + 9} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.10.3

$5$ と $9$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.11

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x \cdot x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.12

指数を足して $x$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.12.1

$x^{5}$ を移動させます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 (x^{5} x) + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.12.2

$x^{5}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.12.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 (x^{5} x^{1}) + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.12.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{5 + 1} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.12.3

$5$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{6} + 6 \cdot 5 x^{5})$

ステップ 3.4.5.13

$6$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{6} + 30 x^{5})$

ステップ 3.4.5.14

$9 x^{14}$ と $6 x^{14}$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - x^{6} - 6 x^{6} + 30 x^{5})$

ステップ 3.4.5.15

$- x^{6}$ から $6 x^{6}$ を引きます。

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5})$

ステップ 3.4.6

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5})$ の因数を並べ替えます。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}}$

ステップ 3.4.7

$x^{6}$ を $x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1

$x^{6}$ を $x^{15}$ で因数分解します。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} - x^{7} + 5 x^{6}}$

ステップ 3.4.7.2

$x^{6}$ を $- x^{7}$ で因数分解します。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + 5 x^{6}}$

ステップ 3.4.7.3

$x^{6}$ を $5 x^{6}$ で因数分解します。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5}$

ステップ 3.4.7.4

$x^{6}$ を $x^{6} x^{9} + x^{6} (- x)$ で因数分解します。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} (x^{9} - x) + x^{6} \cdot 5}$

ステップ 3.4.7.5

$x^{6}$ を $x^{6} (x^{9} - x) + x^{6} \cdot 5$ で因数分解します。

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

ステップ 3.4.8

$15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}$ に $\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$ をかけます。

$\frac{15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

ステップ 3.4.9

$x^{5}$ を $15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.1

$x^{5}$ を $15 x^{14}$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) - 7 x^{6} + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

ステップ 3.4.9.2

$x^{5}$ を $- 7 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x) + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

ステップ 3.4.9.3

$x^{5}$ を $30 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 30}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

ステップ 3.4.9.4

$x^{5}$ を $x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x)$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x) + x^{5} \cdot 30}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

ステップ 3.4.9.5

$x^{5}$ を $x^{5} (15 x^{9} - 7 x) + x^{5} \cdot 30$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

ステップ 3.4.10

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.10.1

$x^{5}$ を $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ で因数分解します。

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{5} (x (x^{9} - x + 5))}$

ステップ 3.4.10.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{5} (x (x^{9} - x + 5))}$

ステップ 3.4.10.3

式を書き換えます。

$\frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

微分積分 例

微分積分例