微分積分例

$y = 5 \cos (x) \tan (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos (x) \tan (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \cos (x) \tan (x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x)))$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x)) + 5 (\tan (x) (- \sin (x)))$

ステップ 3.5.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$5 \cos (x) \sec^{2} (x) - 5 \tan (x) \sin (x)$

ステップ 3.5.3

項を並べ替えます。

$5 \sec^{2} (x) \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

ステップ 3.5.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

ステップ 3.5.4.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

ステップ 3.5.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

ステップ 3.5.4.4

$5$ と $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

ステップ 3.5.4.5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.4.5.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

ステップ 3.5.4.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

ステップ 3.5.4.5.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \tan (x)$

ステップ 3.5.4.6

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.4.7

$- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.4.7.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $- 5$ をまとめます。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x)$

ステップ 3.5.4.7.2

$\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.4.7.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.4.7.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.4.7.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.4.7.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5}{\cos (x)} - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.6

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.7

$5$ を $- 5 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.8

$5$ を $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.9

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.10

$\cos^{2} (x)$ と $\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.10.1

$\cos (x)$ を $5 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)}$

ステップ 3.5.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.10.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

ステップ 3.5.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

ステップ 3.5.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 \cos (x)}{1}$

ステップ 3.5.10.2.4

$5 \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$5 \cos (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 5 \cos (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 5 \cos (x)$

微分積分 例

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