微分積分例

$z = x^{3} e^{x y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{3} e^{x y})$

ステップ 2

$y$ に関する $z$ の微分係数は $z'$ です。

$z'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$x^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x^{3} e^{x y}$ の微分係数は $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ です。

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

ステップ 3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$x^{3} (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

ステップ 3.3

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$x^{3} (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 3.4

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 3.4.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 3.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 3.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 3.4.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$x^{4} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (e^{x y} \cdot 1)$

ステップ 3.6

$e^{x y}$ に $1$ をかけます。

$x^{4} e^{x y}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$z' = x^{4} e^{x y}$

ステップ 5

$z'$ を $\frac{d z}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d z}{d y} = x^{4} e^{x y}$

微分積分 例

微分積分例