微分積分例

$y = 19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (19 z^{2} + \frac{1}{5 z})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ です。

$\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [19 z^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$19$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $19 z^{2}$ の微分係数は $19 \frac{d}{d y} [z^{2}]$ です。

$19 \frac{d}{d y} [z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

ステップ 3.2.2

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = z$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $z$ とします。

$19 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$19 (2 u \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $z$ で置き換えます。

$19 (2 z \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d y} [z]$ を $z'$ に書き換えます。

$19 (2 z z') + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

ステップ 3.2.4

$2$ に $19$ をかけます。

$38 z z' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{5}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{1}{5 z}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$ です。

$38 z z' + \frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$

ステップ 3.3.2

$f (y) = 1$ および $g (y) = z$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

ステップ 3.3.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

ステップ 3.3.4

$\frac{d}{d y} [z]$ を $z'$ に書き換えます。

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

ステップ 3.3.5

$z$ に $0$ をかけます。

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - z'}{z^{2}}$

ステップ 3.3.7

$0$ から $z'$ を引きます。

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{- z'}{z^{2}}$

ステップ 3.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$38 z z' + \frac{1}{5} (- \frac{z'}{z^{2}})$

ステップ 3.3.9

$\frac{1}{5}$ に $\frac{z'}{z^{2}}$ をかけます。

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = 38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

ステップ 5

$z'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ として書き換えます。

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$

ステップ 5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, 5 z^{2}, 1$

ステップ 5.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$5 z^{2}$

ステップ 5.3

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ の各項に $5 z^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.3.1

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ の各項に $5 z^{2}$ を掛けます。

$38 z z' (5 z^{2}) - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

指数を足して $z$ に $z^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1.1.1

$z^{2}$ を移動させます。

$38 (z^{2} z) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

ステップ 5.3.2.1.1.2

$z^{2}$ に $z$ をかけます。

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ステップ 5.3.2.1.1.2.1

$z$ を $1$ 乗します。

$38 (z^{2} z^{1}) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

ステップ 5.3.2.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$38 z^{2 + 1} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

ステップ 5.3.2.1.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$38 z^{3} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

ステップ 5.3.2.1.2

$5$ に $38$ をかけます。

$190 z^{3} z' - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

ステップ 5.3.2.1.3

$5 z^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.3.1

$- \frac{z'}{5 z^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

ステップ 5.3.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

ステップ 5.3.2.1.3.3

式を書き換えます。

$190 z^{3} z' - z' = 1 (5 z^{2})$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$5 z^{2}$ に $1$ をかけます。

$190 z^{3} z' - z' = 5 z^{2}$

ステップ 5.4

方程式を解きます。

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ステップ 5.4.1

$z'$ を $190 z^{3} z' - z'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1.1

$z'$ を $190 z^{3} z'$ で因数分解します。

$z' (190 z^{3}) - z' = 5 z^{2}$

ステップ 5.4.1.2

$z'$ を $- z'$ で因数分解します。

$z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1 = 5 z^{2}$

ステップ 5.4.1.3

$z'$ を $z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1$ で因数分解します。

$z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$

ステップ 5.4.2

$z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ の各項を $190 z^{3} - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ の各項を $190 z^{3} - 1$ で割ります。

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

ステップ 5.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$190 z^{3} - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

ステップ 5.4.2.2.1.2

$z'$ を $1$ で割ります。

$z' = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

ステップ 6

$z'$ を $\frac{d z}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d z}{d y} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

微分積分 例

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