微分積分例

$z = (t - 1) (t + 1)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (z) = \frac{d}{d t} ((t - 1) (t + 1))$

ステップ 2

$t$ に関する $z$ の微分係数は $z'$ です。

$z'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (t) = t - 1$ および $g (t) = t + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1] + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$(t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

ステップ 3.2.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(t - 1) (1 + 0) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(t - 1) \cdot 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

ステップ 3.2.4.2

$t - 1$ に $1$ をかけます。

$t - 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

ステップ 3.2.5

総和則では、 $t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$t - 1 + (t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t - 1 + (t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.2.7

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$t - 1 + (t + 1) (1 + 0)$

ステップ 3.2.8

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$t - 1 + (t + 1) \cdot 1$

ステップ 3.2.8.2

$t + 1$ に $1$ をかけます。

$t - 1 + t + 1$

ステップ 3.2.8.3

$t$ と $t$ をたし算します。

$2 t - 1 + 1$

ステップ 3.2.8.4

数を加えて簡約します。

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ステップ 3.2.8.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$2 t + 0$

ステップ 3.2.8.4.2

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$2 t$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$z' = 2 t$

ステップ 5

$z'$ を $\frac{d z}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d z}{d t} = 2 t$

微分積分 例

微分積分例