微分積分例

$y = p^{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [p^{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f = p$ および $g = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ は $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ であるという一般化べき乗則を使って微分します。

$\frac{d}{d x} [p] (x^{\frac{1}{2}} p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$p$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $p$ の微分係数は $0$ です。

$0 (x^{\frac{1}{2}} p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ に $0$ をかけます。

$0 p^{x^{\frac{1}{2}} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 3.2.2

$0$ に $p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}$ をかけます。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

ステップ 10

$p^{x^{\frac{1}{2}}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} \ln (p)$

ステップ 11

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $\ln (p)$ をまとめます。

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} \ln (p)}{2}$

ステップ 12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例