微分積分例

$y = \sqrt{x} \cos (\sqrt{x})$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (\sqrt{x})]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \cos (x^{\frac{1}{2}})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})] + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 9

項を簡約します。

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ステップ 9.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 9.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 9.3

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 9.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 9.5

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 9.6

共通因数を約分します。

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 9.7

式を書き換えます。

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 10

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 11

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 12

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 13

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 14

分子を簡約します。

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ステップ 14.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 14.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 16

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 17

$\cos (x^{\frac{1}{2}})$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 18

式を簡約します。

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ステップ 18.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.2

項を並べ替えます。

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

微分積分 例

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