微分積分例

$y = \frac{x}{\arctan (x)}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = \arctan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\arctan (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 2.2

$\arctan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\arctan (x) - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{\arctan (x) - x \frac{1}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 4

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\arctan (x) - \frac{x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 5

$\arctan (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 7

$\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{{\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 8

$\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}$ に $\frac{1}{{\arctan (x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2} - x}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2} - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$\arctan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2} - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 9.3.2

$\arctan (x) + \arctan (x) x^{2} - x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\arctan (x) + x^{2} \arctan (x) - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 9.4

${\arctan (x)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\arctan (x) + x^{2} \arctan (x) - x}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

ステップ 9.5

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x)}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例