微分積分例

$e^{4 x} + e^{- x}$

ステップ 1

$e^{4 x} + e^{- x}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $e^{4 x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.2.5

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.1.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.1.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 2.1.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 2.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 e^{4 x} - e^{- x}$ です。

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

ステップ 3.2

両辺に $- e^{- x}$ を加えて方程式の右辺に移動させます。

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$\ln (4 e^{4 x})$ を $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ に書き換えます。

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

ステップ 3.4.2

$4 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{4 x})$ を展開します。

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

ステップ 3.4.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

ステップ 3.4.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

ステップ 3.5

右辺を展開します。

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ステップ 3.5.1

$- x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- x})$ を展開します。

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

ステップ 3.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

ステップ 3.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (4) + 4 x = - x$

ステップ 3.6

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.6.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

ステップ 3.6.2

$4 x$ と $x$ をたし算します。

$\ln (4) + 5 x = 0$

ステップ 3.7

方程式の両辺から $\ln (4)$ を引きます。

$5 x = - \ln (4)$

ステップ 3.8

$5 x = - \ln (4)$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.8.1

$5 x = - \ln (4)$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

ステップ 3.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.8.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

ステップ 3.8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

ステップ 3.8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.8.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- \frac{\ln (4)}{5}$ です。

$- \frac{\ln (4)}{5}$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ です。

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.27725887$ で置換えます。

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ に $- 1.27725887$ をかけます。

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

ステップ 6.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

ステップ 6.2.1.3

$4$ と $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ をまとめます。

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ に $- 1.27725887$ をかけます。

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ です。

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

ステップ 6.3

簡約します。

$- 3.56262674$

ステップ 6.4

$x = - 1.27725887$ で微分係数は $- 3.56262674$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ で減少

ステップ 7

区間 $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.72274112$ で置換えます。

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$4$ に $0.72274112$ をかけます。

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ に $0.72274112$ をかけます。

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

ステップ 7.2.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ です。

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

ステップ 7.3

簡約します。

$71.55727104$

ステップ 7.4

$x = 0.72274112$ で微分係数は $71.55727104$ です。これは正の値なので、関数は $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ で増加

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

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