微分積分例

$y = x e^{\frac{x}{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{\frac{x}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{3}}] + e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{3}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{3}$ で置き換えます。

$x (e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (e^{\frac{x}{3}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{\frac{x}{3}}$ をまとめます。

$x (\frac{e^{\frac{x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2

$\frac{e^{\frac{x}{3}}}{3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{x}{3}} x}{3} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{\frac{x}{3}} x}{3} \cdot 1 + e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$\frac{e^{\frac{x}{3}} x}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{x}{3}} x}{3} + e^{\frac{x}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{\frac{x}{3}} x}{3} + e^{\frac{x}{3}} \cdot 1$

ステップ 3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$e^{\frac{x}{3}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{x}{3}} x}{3} + e^{\frac{x}{3}}$

ステップ 3.6.2

$\frac{e^{\frac{x}{3}} x}{3} + e^{\frac{x}{3}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x e^{\frac{x}{3}}}{3} + e^{\frac{x}{3}}$

微分積分 例

微分積分例