微分積分例

$y = x e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2

$- 1$ を $e^{\frac{1}{x}}$ の左に移動させます。

$x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.3

$- 1 e^{\frac{1}{x}}$ を $- e^{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

ステップ 8

$e^{\frac{1}{x}}$ に $1$ をかけます。

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 9.2

$\frac{1}{x}$ と $e^{\frac{1}{x}}$ をまとめます。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

微分積分 例

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