微分積分例

$y = 25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$

ステップ 1

$25$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$ の微分係数は $25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$ です。

$25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ および $g (x) = x^{5} + 17$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$25 (x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 17] + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{5} + 17$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]$ です。

$25 (x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 3.3

$17$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $17$ の微分係数は $0$ です。

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + 0) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 3.4

$5 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4}) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 4

指数を足して $x^{\frac{1}{5}}$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x^{4}$ を移動させます。

$25 (x^{4} x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$25 (x^{4 + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 4.3

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$25 (x^{4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 4.4

$4$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$4$ に $5$ をかけます。

$25 (x^{\frac{20 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 4.6.2

$20$ と $1$ をたし算します。

$25 (x^{\frac{21}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 5

$5$ を $x^{\frac{21}{5}}$ の左に移動させます。

$25 (5 \cdot x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

ステップ 6

$n = \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

ステップ 10.2

$1$ から $5$ を引きます。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

ステップ 12

$\frac{1}{5}$ と $x^{- \frac{4}{5}}$ をまとめます。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

ステップ 13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{5}}$ を分母に移動させます。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$25 (5 x^{\frac{21}{5}}) + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3

項をまとめます。

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ステップ 14.3.1

$5$ に $25$ をかけます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.2

$x^{5}$ と $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ をまとめます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5}}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{4}{5}}$ を分子に移動させます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5} x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.4

指数を足して $x^{5}$ に $x^{- \frac{4}{5}}$ を掛けます。

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ステップ 14.3.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.4.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.4.3

$5$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.4.5

分子を簡約します。

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ステップ 14.3.4.5.1

$5$ に $5$ をかけます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{25 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.4.5.2

$25$ から $4$ を引きます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.5

$25$ と $\frac{x^{\frac{21}{5}}}{5}$ をまとめます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.6

$5$ を $25 x^{\frac{21}{5}}$ で因数分解します。

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.7

共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.7.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 (1)} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.7.2

共通因数を約分します。

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 \cdot 1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.7.3

式を書き換えます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 x^{\frac{21}{5}}}{1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.7.4

$5 x^{\frac{21}{5}}$ を $1$ で割ります。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

ステップ 14.3.8

$17$ と $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ をまとめます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 14.3.9

$25$ と $\frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ をまとめます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 \cdot 17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 14.3.10

$25$ に $17$ をかけます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{425}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 14.3.11

$5$ を $425$ で因数分解します。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 14.3.12

共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.12.1

$5$ を $5 x^{\frac{4}{5}}$ で因数分解します。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 (x^{\frac{4}{5}})}$

ステップ 14.3.12.2

共通因数を約分します。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 14.3.12.3

式を書き換えます。

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$

ステップ 14.3.13

$125 x^{\frac{21}{5}}$ と $5 x^{\frac{21}{5}}$ をたし算します。

$130 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$

微分積分 例

微分積分例