微分積分例

$y = \arccos (\frac{1}{1 + x^{2}})$

ステップ 1

$f (x) = \arccos (x)$ および $g (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{1}{1 + x^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\arccos (u_{1})$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1}{1 + x^{2}}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + x^{2}$ とします。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 4.2.2

${(1 + x^{2})}^{- 2}$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 4.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + x^{2})}^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 4.3

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} (2 x)$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

$2$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}} x$

ステップ 4.7.2

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{1 + x^{2}})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $\frac{1}{1 + x^{2}}$ に当てはめます。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}} {(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 5.4

分母を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 5.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

ステップ 5.4.3

項を並べ替えます。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

ステップ 5.4.4

因数分解した形で $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ を書き換えます。

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ステップ 5.4.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

ステップ 5.4.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1 + x^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 1) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

ステップ 5.4.4.3

簡約します。

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ステップ 5.4.4.3.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (1 + x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

ステップ 5.4.4.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

ステップ 5.4.4.3.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

ステップ 5.4.5

$\frac{(x^{2} + 2) x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ を ${(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)$ に書き換えます。

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ステップ 5.4.5.1

$(x^{2} + 2) x^{2}$ から完全累乗 $x^{2}$ を因数分解します。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}}$

ステップ 5.4.5.2

${(x^{2} + 1)}^{2}$ から完全累乗 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ を因数分解します。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}}}$

ステップ 5.4.5.3

分数 $\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} (x^{2} + 2)}}$

ステップ 5.4.6

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} (\frac{x}{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

ステップ 5.4.7

$\frac{x}{x^{2} + 1}$ と $\sqrt{x^{2} + 2}$ をまとめます。

$\frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

ステップ 5.5

${(1 + x^{2})}^{2}$ と $\frac{x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{2 x}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

ステップ 5.6

分母を簡約します。

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ステップ 5.6.1

${(1 + x^{2})}^{2}$ と $x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{2 x}{\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 1}}$

ステップ 5.6.1.2

$x^{2} + 1$ を ${(x^{2} + 1)}^{2} x \sqrt{x^{2} + 2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{x^{2} + 1}}$

ステップ 5.6.1.3

共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1.3.1

$1$ を掛けます。

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

ステップ 5.6.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2})}{(x^{2} + 1) \cdot 1}}$

ステップ 5.6.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x}{\frac{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}{1}}$

ステップ 5.6.1.3.4

$(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 5.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x}{(x^{2} x + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 5.6.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.6.3.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 5.6.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x}{(x^{2} x^{1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 5.6.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x}{(x^{2 + 1} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 5.6.3.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x}{(x^{3} + 1 x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 5.6.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x}{(x^{3} + x) \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 5.6.5

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x}{x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 5.6.6

$x \sqrt{x^{2} + 2}$ を $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2} + x \sqrt{x^{2} + 2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.6.1

$x \sqrt{x^{2} + 2}$ を $x^{3} \sqrt{x^{2} + 2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 5.6.6.2

$x \sqrt{x^{2} + 2}$ を $x \sqrt{x^{2} + 2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)}$

ステップ 5.6.6.3

$x \sqrt{x^{2} + 2}$ を $x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2}) + x \sqrt{x^{2} + 2} (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

ステップ 5.7

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{x \sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

ステップ 5.7.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$

ステップ 5.8

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 5.9

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.9.1

$\frac{2}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1)}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2} (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 5.9.2

$\sqrt{x^{2} + 2}$ を移動させます。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

ステップ 5.9.3

$\sqrt{x^{2} + 2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

ステップ 5.9.4

$\sqrt{x^{2} + 2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

ステップ 5.9.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.9.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

ステップ 5.9.7

${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ を $x^{2} + 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.9.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 2}$ を ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.9.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.9.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.9.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.9.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.9.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

ステップ 5.9.7.5

簡約します。

$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$

微分積分 例

微分積分例